Von GUIDO HOHEISEL in Koln.
(Eingegangen am 12. 1. 1951.)
Der Satz, daB eine nicht selbstadjungierte Integralgleichung und ihre Adj ungierte die gleichen Eigenwerte mit derselben Zahl von Eigenfunktionen haben, ist nicht ganz leicht zu beweisen. Fur lineare Operatoren in vollstetigen Banachschen Raumen hat SCHAWDER') einen freilich nicht ganz durchsichtigen Beweis gegeben. Ein Beweis von BANACH~) benutzt sogar den Wohlordnungssatz. zAANEN3) hat in Anlehnung an diese Vorgiinge einen Beweis gegeben, der gut zu lesen ist, aber naturgemiil3 nicht kurz sein kann. Fur lineare Integralgleichungen findet sich unter Verwendung des Enskogschen Verfahrens zur Aufspaltung des Kerns ein einfacher Beweis bei HOHEIsEL*). Hier wird dieser Beweis ubertragen auf lineare Operatoren in Hilbertschen Riiumen, wobei er so gehdten ist, daB er bis auf den letzten Teil im Banachschen Raum verliiuft. I n manchen Teilen (z. B. beim Enskogschen Verfahren) ist diese Ubertragung naturlich leicht, insgesamt aber nicht ganz selbstverstiindlich. Mit x, y , . . . werden die Elemente des Raumes bezeichnet ; a , 6, . . . sind Zahlen; lixi1 bedeutet die Lange von x. K ist ein linearer Operator, d. h.
K ( a x )
= a K ( x ) , K ( x + y) = K ( z ) + K(y). K soll ferner beschriinkt sein, d. h. IIK(z)li 5 const 11x11. I ist der identische Operator I(x) = x. Zuni Operator K