Von HARALD BERCSTROM in Uppsala. (Eingcgangcn a m 18. 10. 1948.) I n einer seiner lctzten Arbeiteii hnt sich HASSE~) Init den Bheiterungen abelscher Gruppen (kurz abelschen Erweiterungen) beschaftigt. Er hat sich dttbei die Aufgabe gestellt, die Gruppeninvarittnten durch Korperinvarianten zu charakterisieren. Eine Eweiterung (3 einer abelschen Gruppe 91 mit einer C h p p e g bestimmt sich helianntlich aiil3er durch ?[ und g nocli durch zwei gruppentheoretische Invarianten, erstens durch eine homomorphe Darstellung r von 0 in der vollen Autoniorphisnit.n~Sruppe von 91, zweitens diirch eine Klasse 6 assoziierter Faktorensysteme. Httsse hat erstens (3 d s Galoispuppe eines Korpem K/ko betrachtet, wo K ein Kummerscher Korper uber einem Kiirper k ist und K / k die Galoisgruppe 2l hat, und wo klk, galoissch m i t d e r Galoisgruppe g ist. Es ist ihm +inn gelungen, die Invarianten F und g durch eine Klasse c koniniutativer assoziativer Faktorensysteme a m k festzulegen. Zweitens hat er die (nicht notwendig Kummersche) Erweiterung K / k tlls IUttssenkorper betrachtet, dem dann eine Tdealklassengruppe D/H entspricht. Die Bestimmung von r durch D/H gelingt sofort durch das Artin-Symbol. Die Hauptschwierigkeit ist hier, die Klasse (?; durch D/H zu bestimmen. Hasse konnte2) gewisse ,fi~rodidite aus Falitoren, aber nicht die eineelnen Faktoren ddrch D/H festlegen. Die genannte Schwierigkeit filllt natiirlich fort, wenn 6 schon durch 91, 0 und r eindeutig bestimmt ist, was der Fall sein kann, denn die Invarianten sind nicht unahhkngig voneinander. Wenn Q durch die iihrigen Invarianten schon bestininit ist, kann Q niir mit 1 assoziierte Faktorensysteme cnthalten, die man bekanntlich zerfallende Faktorensysteme nennt. Man bezeichnet dann @ als ein zerfallendes verschriinktes F'rodukt von 2l mite g . In diesem Zusammenhang mag es von Interesse sein, Kriterien fiir das Zerfallen der Fnktorensystenie Q zu finden. Ein solches Kriterium ist der bekannte Satz von SCHUR: Wenn die Ordnung von g teilerfrentd ist ZIL der Ordnung des Nmxzlteilers ?I, YO zerfallt die Erweiterung 0 vm 91 mit 0.
l) H. HASSE, Existenz und Mannigfaltigkeit abelsoher Algebren init vorgegebener Galoisgruppe iiber einem Teilkorpr des Grundk6rprs. I. Math. Narhr., Berlin I (1948), 40-61. a) Nach brieflicher Mitteilung.