Gegeben sei ein Kijrper R, der iiber seinem Teilkorper R, galoissch mit der Gruppe g ist. Gegeben sei ferner eine endliche Gruppe ' 2l und eine Erweiterung von % init 4 in1 Sinne vnn Schreicr. Unter dem Einbettungsproblem versteht man die folgende Frage: LaI3t sich ! 2 derart in einen Korper K einbetten, da13 K iiber n galoissch mit der Gruppe 91 und K uber R, galoissch rnit der Gruppe 01 ist? Alle im folgenden betrachteten Korpererueiterungen werden als endlichalgebraisch und separabel vorausgesetzt.
Das EinlJettungsproblem ist vor allem fur abelsche Gruppen % untersucht worden. Von den beiden dabei eingeschlagenen Vllegen interessiert uns in dieser Arbeit nur der algebraische (im Gegensatz zu dem arithmetischen, bei dem im Fall von Zahlkbrpern K a19 Klassenkorper zu einer passenden Idealgruppe in SZ konstruiert wird). Die Losbarkeit des Eiribettungsproblems hangt, wie R. BRAUER~) zuerst fur eyklischc Gruppen ?I gezeigt hat, eng mit dem Zerfallen gewisser Algebren zusammen. Einer sptematischen Behandlung des Einbettungsproblems fur beliebige abelsche Gruppen 9I hat H . HASSE~) mehrere Arbeiten gewidmet. I m An-achluB daran habe ich gezeigt, da13 sich im Rahmen der von H. Hasse eingefuhrten Begriffsbildungen das Hauptergebnis von R. Brauer leicht aus der Noetherschen Verallgemeinerung von Hilberts Satz 90 herleiten laBtS). Kiirzlich hat sich E. INABA4) mit dem Einbettungsproblem fur den Fall beschaftigt, dal3 % -om Typ ( p , , , . , p ) fur eine Primzahl p ist.
In den Arbeiten von H. Hasse ist das Einbettungsproblem fur abelsche Gruppen 9( weitgehend erledigt worden bis auf eine Vermutung (Vermutung