Teichmiiller-Tukeyscher Maximalmengensatz. Ist M eine Menge, $3 $= iVI5 2 P M und N E %T, so besitzt %T ein maximales Element X , beziiglich 2 mit N 2 X , unter der Voraussetzung, dap fur jedes X 2 M gilt:
2. In der vorliegenden
Note sollen diese Siitze unter Verwendung des Auswahlaxioms fur Klassen innerhalb eines algebraisierten inhomogenen und transfiniten Stufenkalkiilsl) allgemein fiir Klassen bewiesen werden. Der algebraisierte Stufenkalkiil entstand zu dem Zwecke, der Mengenlehre ein solches Axiomensystem zugrunde zu legen, dal3 sich die Mathematik jnnerhalb der Mengenlehre in einer sowohl sachlich wie technisch moglichst einfachen Weise darstellen liil3t. Dieses Ziel wurde erreicht (vgl. [l], [3]) durch Verschmelzung des NEmNNschen Klassenkalkuls mit der RussELLschen Typentheorie, indem man dem Klassenkalkul die Typentheorie (gleich inhomogen und transfinit) mit Hilfe einer zusiitzlichen biniiren Stufenrelation (stufenkleinergleich) axiomatisch zufiigte. Der Begriff der Allmenge erweist sich dabei als wichtiger Begriff (vgl. [2]), da man mit seiner Hilfe jetzt auch Abstraktionsklassenbildung allgemein iiber Klassen (nicht nur Mengen) mit zugrunde gelegter Aquivalenzrelation durchfiihren kann; man braucht nur auf die dem jeweiligen Zusammenhang am besten angepal3te Allmenge zu relativieren und erhiilt dann als relativierte Abstraktionsklassen wieder Mengen. Mit Hilfe der bezuglich 5 wohlgeordneten Klasse 2l aller Allmengen werden wir auch jetzt die angekiindigten Siitze herleiten. Wir legen im folgenden stets [3] zugrunde. 1) [l] D. KLAUA, Ein Aufbau der Mengenlehre mit transfiniten Typen, formalisiert im PI% [2] -, Eine Formulierung des TARsKIschen Unerreichbarkeitsaxioms mittels All-[31 -, Allgemeine Mengenlehre. Akademie-Verlag, Berlin 1964. dikatenkalkiil der ersten Stufe. Diese Zeitachr. 3 (1957), 303-316. mengen. Dieae Zeitschr. 10 (1964), 115-117.