Zwei Methoden zum Nachweis von periodischen Lösungen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

✍ Scribed by Gisela Güssefeldt

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1971
• Tongue: English
• Weight: 508 KB
• Volume: 48
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19710480111

✦ Synopsis

I n dieser Arbeit beschaftigen wir uns mit einem allgemein nichtlinearen System gewohnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung der Gestalt

(1)

x ' = F ( z , t ) , wobei z ein Vektor im n-dimensionalen euklidischen Raum E" sein 8011; F sei im En x [0, w) definiert und stetig, bezuglich t periodisch mit der Periode w. Unser Ziel ist, Bedingungen uber P ( z , t ) herzuleiten, die die Anwendung des Pixpunktsatzes von LERAY-SCHAUDER oder der Methode der positiven Operatoren zum Existenznachweis von w-periodischen Losungen von (1 ) gestatten.

Dazu sei bemerkt, daB die w-periodischen Losungen von (1) gerade die Losungen einer HAMMERsTEINsChen Integralgleichung sind, die wir so erhalten :

Sei F (x, t ) in w-periodische und stetige Bestandteile zerlegt -

so daB die homogene Differentialgleichung x ' = A (t) x keine nichttriviale w-periodische Losung hat. Dann hat die gesuchte Integralgleichung die Form ( 2 ) w x ( t ) = 1 G" (t, ~) j ( x ( 4 , Z) dr, t E [O, 01, 0 wobei die GREENsChe Matrix

1. Auszug aus der Dissertation des Verfassers : Humboldt-Universitat Berlin 1968. * Verstorben am 24.3.1971. 142 Gussefeldt, Zwei Methoden zum Nachweis von periodischen Losungen Mit 93 sei der BANAcH-Raum der auf [0, w ] stetigen Vektorfunktionen x ( t ) mit x ( 0 ) = x(w) und der Norm bezeichnet. In diesem Raum wird W T (2) = J GA (t, Z) f ( x , Z) dz 0 eine vollstetige Transformation von 23 in sich, deren Fixpunkte gerade den o-periodischen Losungen von (1) entsprechen.

1. f ( -2, t ; 1) =f ( x , t ; 1) fur alle x E En und t E [O, w ] , 2) Vgl. etwa [4], S. 130.