In this paper we consider the lattice AG of all closed connected subgroups of pro-Lie groups G, which seems to have in some sense a more geometric nature than the full lattice of all closed subgroups. We determine those pro-Lie groups whose lattice shares one of the elementary geometric lattice properties, such as the existence of complements and relative complements, semi-modularity and its dual, the chain condition, self-duality and related ones. Apart from these results dealing with subgroup lattices we also get two structure theorems, one saying that maximal closed analytic subgroups of Lie groups actually are maximal among all analytic subgroups, the other that each connected abelian pro-Lie group is a direct product of a compact group with copies of the reals.
EINLEITUNG
Das Wechselspiel zwischen der Struktur einer Gruppe und der ihres Untergruppenverbandes ist ein klassischer Gegenstand von Gruppen-und Verbandstheorie, zu welchem umfangreiche Literatur existiert. In der Theorie der topologischen Gruppen gibt es ebenfalls weitreichende Untersuchungen dazu, die sich fast ausschlieBlich auf den vollen Verband EG aller abgeschlossenen Untergruppen einer topologischen Gruppe G beziehen; die betrachteten Gruppen werden dabei in der Regel als lokalkompakt vorausgesetzt.
Schon die einfachsten Bausteine zusammenh/ingender Gruppen wie die Einparametergruppen R oder R/2~ haben jedoch relativ komplexe Verbande, denen elementare geometrische Eigenschaften abgehen. (So ist der Verband ER nicht modular und enth/ilt weder Atome noch Dualatome.) Ausgehend von dem Gedanken, dab sich der elementare Charakter solcher Gruppen auch in ihren Verbfinden widerspiegeln sollte, betrachten wir in dieser Arbeit nur die zusammenh/ingenden unter den abgeschlossenen Untergruppen von G, und den von ihnen gebildeten vollst/indigen Verband AG. Der damit verbundene Verlust an 'Information' fiber G wird angesichts des st/irker geometrischen Charakters von AG bewuBt in Kauf genommen. Bei unserer Betrachtung erfassen wir nicht nur die Klasse der lokalkompakten, sondern die aller pro-Lieschen Gruppen, der sogenannten LP-Gruppen. Der Verband AG einer solchen ist n/imlich der projektive Limes der entsprechenden Liegruppen-Verb/inde, was f/ir den vollen Verband EG aller abgeschlossenen Untergruppen im allgemeinen nicht mehr zutrifft [11]. Ffir die 'Natfirlichkeit' der Verb/inde AG spricht auch der Umstand, dab sie in der entgegengesetzten Ordnung algebraisch, ja sogar arithmetisch sind [11], w/ihrend der Verband EG schon in einfachsten F~illen (z.B. f/ir G = R) solcher geometrischen Eigenschaften entbehrt.