Invariante, von Spiegelungen erzeugte Untergruppen orthogonaler Gruppen

✍ Scribed by Peter Klopsch

• Publisher: Springer
• Year: 1972
• Tongue: English
• Weight: 839 KB
• Volume: 1
• Category: Article
• ISSN: 0046-5755
• DOI: 10.1007/bf00147382

✦ Synopsis

INVARIANTE, VON SPIEGELUNGEN ERZEUGTE UNTERGRUPPEN ORTHOGONALER GRUPPEN Sei V= V(K,f) ein endlichdimensionaler metrischer Vektorraum tiber einem kommutativen KSrper K von Charakteristik ~ 2 mit der symmetrischen Bilinearform f: Vx V~K, und sei O(V) die (engere) orthogonale Gruppe yon V. Die Untergruppen von O(V), welche von Teilraumspiegelungen erzeugt werden, mSgen Spiegelungsgruppen von V heil3en. In dieser Arbeit sollen unter spezieUen Voraussetzungen fiber V die Spiegelungsgruppen von Vbeschrieben werden, welche unter O (V) invariant sind und gewisse Vollst/indigkeitsbedingungen erftillen (siehe Definition (1.1)). Ist V isotrop 1, so ergibt sich eine solche Beschreibung sehr einfach mit Hilfe der verschiedenen Anordnungen von K. Ftir den Fall dim V= 3 ist dies seit langem bekannt und in [2], § 18,6, dargestellt. Hier soil vor allem gezeigt werden, dab sich die Frage fiir globale K~Srper 1 K-insbesondere auch im anisotropen Fall -dutch Lokalisation 15sen IgBt. Dabei werden an entscheidender Stelle Ideen aus der Arbeit [3] von A. Dress verwendet. Es wird ein Lokalisationssatz bewiesen, welcher die Frage auf die gleiche fiir lokale Ktirper zurtickftihrt; und fiir diese 1/~13t sich die gewtinschte Beschreibung leicht geben. Die (nicht notwendig invarianten) Spiegelungsgruppen, welche die Vollst/~ndigkeitsbedingungen erftillen, stellen-yon Extremf/illen abgesehengenau die Bewegungsgruppen der absoluten Geometrie im Sinne yon Bachmann, Ahrens und Kinder 2 dar. Den genauen Sachverhalt werden wir am Schlul3 dieser Arbeit kurz angeben. In diesem Zusammenhang hatte sich ursprtinglich die hier behandelte Frage gestellt. Herrn Professor Dr. F. Bachmann mSchte ich an dieser Stelle ftir die F6rderung dieser Arbeit sehr herzlich danken. 1. VOLLST.~.NDIGE SPIEGELUNGSGRUPPEN UND EIGENTLICHKEITSBEREICHE Sei V= 11.+ 1 (K,f) ein (n+ 1)-dimensionaler metrischer Vektorraum tiber 1 Im folgenden werde ich reich bei Aussagen, welche im Zusammenhang mit metrischen Vektorr~tumen, K6rpern trod Primstellen yon KOrpern stehen, an die Bezeichnungen von O'Meara [6] halten. Siehe Bachmann [2], Ahrens [1] und Kinder [4].