Einleitung
I n der Korpertheorie spielen neben den rein algebraischen Hilfsmitteln auch topologische Gesichtspunkte eine wesentliche Rolle. Sie treten uberall dort auf ~ wo aul3er den algebraischen Rechenoperationen auch Limesprozesse herangezogen werden, wie dies z, B. bei der Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen der Fall ist. Uber diesen konstruktiven Beitrag hinaus ermoglichen jedoch die topologischen Begriffsbildungen auch eine invariante Kennzeichnung gewisser Korpertypen. Das wichtigste, in diesen Zusammenhang gehorende Ergebnis ist wohl der folgende Satz yon Pontrjagin. Jeder lokalkompakte, zusammenhangende Korper, der dem ersten Abzahlbarkeitsaxiom geniigt, ist isomorph zum Korper der reellen Zahlen, zu dem der komplexen Zahlen oder zum Scliiefkorper der Quaternionen [2], [3]'). Dieser Satz ist deswegen von so grol3er Bedeutung, weil hier die angegebenen Korper unabhangig von konstruktiven Bestimmungsstucken charakterisiert werden. Ihre Sonderstellung erkliirt sich erst auf Grund dieser invarianten Kennzeichnung. Denn vom konstruktiven Standpunkt aus stehen ja z. B. die p-adischen Korper durchaus gleichberechtigt neben dem der reellen Zahlen. Die Wichtigkeit des Pontrjaginschen Satzes rechtfertigt es wohl, wenn in der vorliegenden Arbeit ein neuer Beweis angegeben wird, der die Verhaltnisse von anderen Gesichtspunkten aus beleuchtet. Daneben liefert dieser Beweis aber auch noch zivei andere, von JACOBSON [4] stammende und in diesen Zusammenhang gehorende Satze, die einen vollstandigen Uberblick iiber die lokalkompakten Kijrper mit ersteni Abzahlbarkeitsaxiom vermitteln. Ihrer engen Verwandtschaft mit $em Pontrjaginschen Satz entsprechend ergeben sich diese Satze im folgenden erst am Schlul3 des gemeinsamen Beweises durch eine einfache Fallunterscheidung. Die Topologien sowohl der reellen und komplexen Zahlen als auch der Quaternionen werden bekanntlich durch die Absolutbetrag-Bewertung geliefert. Es liegt daher nahe, zu versuchen, den Pontrjaginschen Satz unter bewertungstheoretischen Gesichtspunkten zu beweisen. Dies gelingt mit Hilfe neuerer Ergebnisse uber die Beziehungen zwischen gewissen Topologien und den Be-I ) Siehe das Literaturverzeichnis 5. 268.