Zur Lp-Approximation holomorpher Funktionen durch rationale Funktionen

✍ Scribed by Siegfried Dümmel

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1970
• Tongue: English
• Weight: 262 KB
• Volume: 45
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19700450121

✦ Synopsis

Von G. FICHERA wurde eine notwendige und hinreichende Bedingung dafiir angegeben, daW jede in einem beschrankten Gebiet G der komplexen z-Ebene holomorphe und in G stetige Funktion f(z) durch rationale Funktioneii mit vorgegebenen Polen rnit beliebiger Genauigkeit gleichrn513ig approximiert werden kann, sofern der Rand von G noch gewissen zusatzlichen Voraussetzungeii genugt. 1) Es sol1 nun gezeigt werden, da13 dieselbe Bedingung notwendig und hinreichend dafiir ist, da13 jede in G holomorphe Funktion f(z), fur die If(z)I" (1 =( p < + a ) in G summierbar ist, durch rationale Funktionen mit vorgegebenen Polen im Mittel der Ordnung I, init beliebiger Genauigkeit approxirniert werclen kann. Wir prazisieren das Problem folgendermal3en : G sei ein einfach zusammenhangendes, beschranktes Gebiet der komplexen z-Ebene Z. Der Rand T von G sei eine Kurve der Klasse C1$ h, d. h. 1" sei durch eine Funktion z = z ( s ) darstellbar, die stetig differenzierbar und periodisch mit der Periode I (I Bogenlange von F ) und deren Ableitung voii Null verschieden sowie gleichma13ig HOLDER-stetig rnit dem Exponenten h ( 0 < h 5 1) ist. Q"(G) (1 5 p < + cm) sei der Raum aller in G holomorpheii Funktionen f(z), fur die j-lf(4l" dP < + a (7 (p LEBESGUE-&hB) ist, mit der Norm Gegeben seien weiterhin eine Folge komplexer Zahlen z, mit zk + zj fur k =t j und zk E B -G (G AbschlielJung von G) fiir alle k und eine Folge 1) G. FICHERA [3], [4], [5].