ZUR AXIOMATISIERUNG DER NIGHT-IDENTITATEN DES AUSSAGENKALKOLS
Von KLAUS HARTIG in Berlin Einen Gedanken des Yhilosophen F. BRENTANO (1838BRENTANO ( -1917) ) aufgreifend, hat J. LUKASIEWICZ in einigen Untersuchungen als Gegenstiick zur Anerkennung von Ausdriicken (formalisierter Theorien) auch die Verwerfung eingefiihrt. So findet man in der Syllogistik-Monographie [l] ,,proofsL', d. h. Ableitungen, die bei der Anerkennung (,,assertion") einer Aussageform enden, und ,,disproofs", d. h. Ableitungen, die zur Verwerfung (,,rejection") einer Aussageform fuhren. Spiiter ([2]) dient ,,I-(' als ,,sign of assertion", ,, --I'( als ,,sign of rejection". Als ,,rules of rejection" verwendet LURASIEWICZ die folgendenl) : R1: 1st ein Spezialfall von H verworfen (niimlich ein Ausdruck, der aus H durch Substitution irgendeines Terms oder Ausdrucks fur eine bestimmte Variable hervorgeht), so ist auch H selbst zu verwerfen. R2: 1st H , -+ H , anerkannt und H , verworfen, so ist auch H I zu verwerfen. J. SEUPECKI,) definiert die ,,Verwerfbarkeit" eines Ausdrucks H als die Ableit-barkeit3) mindestens eines der axiomatisch verworfenen Ausdriicke aus den axiomatisch anerkannten Ausdriicken zuziiglich H . Bei diesem Ansatz sind explizite ,,rules of rejection" umgangen4). I n der vorliegenden Note sollen gerade sie untersucht werden, insbesondere die Entbehrlichkeit der Einsetzungsregel R1. Unser Gegenstand ist der klassische zweiwertige Aussagenkalkiil, dessen Ausdriicke (= sinnvollen Ausdriicke) etwa aus den Aussagenvariablen p,,, pl , p 2 , . . . mit Hilfe der aussagenlogischen Funktoren -, A , v, -+, -, unter Hinzuziehung von Klammern, aufgebaut seien. 1st H ein Ausdruck, so bedeute ,,agH", daB H allgemeingultig (oder : eine Identitat) ist, namlich von jeder Belegung (der Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten) erfiillt wird. Ausdriicke, die nicht jede Belegung erfullt, nennen wir Nicht-fdentituten; Ausdriicke, die keine Belegung erfullt, heiBen Kontradiktionen. Ein fur allemal sei irgendeine Axiomatisierung der Identitiiten vorgegeben : Die durch Wahl axiomatisch anerkannter Ausdriicke und durch bestimmte SchluBregeln (rules of assertion) -syntaktischfestgelegte Ableitbarkeitseigenschaft (t-) sol1 mit dersemantisch definierten -Eigenschaft ag identisch sein; n u r dies wird uber t-benutzt. Als R e g e l n sollen im folgenden nur die Regeln der Verwerfung bezeichnet werden, als Axiome nur die axiomatisch verworfenen Ausdriicke; wir lassen nur l) [l], 8.96; [2], S. 114. In der in [3] und [l] untersuchten formalisierten Theorie spielt alfi spezielle Verwerfungsregel noch die R e g e l v o n SEUPECHI ([l], S. 103) eine Rolle; nach ihrer Hinzunahme konnte zu jedem nicht ableitbaren Ausdruck jenes Kalkiils ein ,,disproof" konstruiert werden. z, [3], S. 277; dem Sinne nach zitiert. 3,im gewohnlichen Sinne, etwa mit Einsetzungs-und Abtrennungsregel. 4, Vgl. jedoch unten den Anfang yon Absatz 3.