Einleitung
In [8] haben wir die Struktur von JIV-Monoiden, d. h. von linear geordneten Halbgruppen H mit der Eigenschaft und negativen Elementen mit Hilfe einer fur linear geordnete Monoide modifizierten SCHREIERsChen Erweiterungstheorie vollstlindig beschrieben. Die fur den rtllgemeinen Fall angegebenen notwendigen und hinreichenden Bedingungen fur die entsprechenden geordneten SCHREIERsChen Produkte sind recht unhandlich. Die Theorie l l D t sich jedoch wesentlich vereinfachen, wenn fur die Gruppenkomponente H , von H die zusittzliche Eigenschaft (N) Va ( a € E I = -a H l = H l a ) vorausgesetzt wird. Die dieaen JIV-Monoiden entsprechenden speziellen geordneten ScHREIERechen Erweiterungen nennen wir z-Erweiterungen. Dabei handelt es sich um eine echte Einschriinkung dea allgemeinen Falles, denn in Abschnitt 4 geben wir ein Beispiel fiir ein JIV-Monoid an, das die Eigenschaft (N) nicht besitzt. Im Abschnitt 2 wird gezeigt, daD JIV-Erweiterungen mit natiirlich geordneten Monoiden, in denen die Kiirzungsregeln gelten, und absorbierende I'rodukte von natiirlich geordneten Monoiden und linear geordneten Gruppen &ts z-Erweiterungen sind. Die in Abschnitt 3 vorgenommene Charakteritierung von z-Erweiterungen enthllt als Sonderfall die von LUGOWSKI ([4], [ 5 ] , 161) fur kommutative JnT-Halbmoduln angegebene. J I V V a V b 3 x 3 y (a, bEHAa-=b=>x, y E H A a x = y a = b ) 1. Normelteiler und x-Erweiterungen Wir kniipfen en [8] an, verwenden also die dort eingefuhrten Bezeichnungen und erzielten Ergebnisse. Zuniichst betrachten wir spezielle normale Unternionide. Definition (1.1). Ein Monoid MI heiDt genau dann Zinhormal in einem Monoid J ! Z (MiGlM), wenn MI Untermonoid von M ist und eine kompatible Klaeseneinteilung von M existiert, die MI als Klasae enthllt und deren Klassen Linksnebenklassen von M i sind. Entsprechend definieren wir, wann M i rechtsnomal Vogel, z-Erweihrungen linear geordneter Gruppen in N ist ( M 1 g r M ) . SchlieDlich heifit M i zweiseitignomull in M (MIGzJY), wenn M i links-und rechtsnormal in M ist. Definition (1.2). Ein Nomualteiler MI eines Monoids M jst eine Gruppe, dio zweiwitignormal in M ist ( M , S , M ) . Lemma (1.3). 1st eine Qrwppe Mi normalee Untemaonoid uon M y h n n gilt: a) M i s l M s Va (a€ M *M,a&OiKi) b) MI 5 , M e Va (a E M *aMi E Mia) c) M I E , M s V a (aEM*aMi=M1a). B e w ei a. a) Wegen der l'dinimalitiit der Kongruenz TM, gilt : M l & , M o V a 3 u (a€M=-UEMA[a],=Uitf~) . Die Gruppeneigenschaft von Mi liefert : Vu Va (uCM Aa EuM, *aMl = wMi) . Daraus ergibt sich unmittelbar M l a s a M i fiir jedes Element a aus M . Umgekehrt folgt aus Mia& aMl stets aMlb =&MI und &us aM, f l bMl =k 0 jedenfalls aM, = = bMl. Folglich lit& eich jede Kongruenzklasse [z],~, ah Linksnebenklasse zM, schreiben. Analog zu a) wird b) gezeigt, withrend sich c) aus a) und b) ergibt. Definition (1.4). Eine o-exakte Folge Mo-+Mi -.a -+ M k von &-Monoiden Mi und o-Homomorphismenfi: B,-i 'Mi ( i = 1, . . . , k) (vgl. [8], Definition (2.1)) heiBt genau dann links-o-exakt (1-exakt), red&-o-exakt (r-exakt) bzw. zweiseitigo-ezakt (z-exakt), wenn sie die Eigenschaft 1. imfiGIMj