VIERSCHEITELSXTZE IN DER EBENEN HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE EINLEITUNG (I) (a) In der hyperbolischen (nichteuklidischen) ebenen Geometrie gilt bekanntlich das Axiomensystem ~ der absoluten Geometrie sowie das 'nichteuklidische' Parallelenaxiom ~: Es existiert in der hyperbolischen Ebene H (mindestens) eine Gerade G (im Sinne der hyperbolischen Geometrie, kurz: h. Gerade) und (mindestens) ein Punkt xeH\G derart, dass (mindestens) zwei h. Geraden (in H) durch x fremd zu G sind (was dann fiir jedes G und jedes x~H\G gilt). Anmerkung. Das Axiomensystem 9A umfasst, ausser dem Dimensionsaxiom, die Axiome der Anordnung, der Kongruenz, das archimedische und das Stetigkeitsaxiom (vgl. B.-L. [1 ], S. 28; 24/25; 29/32; 41/43; Perron [1 ], § §4 und 5). -Demgegeniiber wird bei Hessenberg-Diller [1], S. 96, yon absoluter Geometrie gesprochen, wenn aus 9A das archimedische und das Stetigkeitsaxiom weggenommen werden. (b) Bekanntlich existiert in H, neben dem System g der h. Geraden, das System ~ der sogenannten Kreisformen (vgl. Perron [2], 69) bestehend aus den Kreisen (im Sinne der hyperbilschen Geometrie; kurz h. Kreisen), den Abstandslinien und den Grenzkreisen. Dabei hat ~ die fiir unsere Fragestellung wesentliche Eigenschaft: Beliebige drei verschiedene Punkte p~ ~ H, i= 1, 2, 3, liegen, wenn nicht auf einer h. Geraden, auf genau einer Kreisform K=K(pi,p2,p3)(~); ausserdem h~ingt K(pl, P2,P3) stetig von (Pl, P2, P3) ab. Es ist also ~= g u ~ ein System von sogenannten Ordnungscharakteristiken, kurz: OCh, mit der Grundzahl k= k(~)= 3 (im Sinne von H.-K. [1], No. 1.1.1.). Dabei ist jede Kreisform streng g-konvex, d.h. jedes KE [ hat mit jeder h. Geraden h6chstens zwei Punkte gemeinsam. (II) Es sei jetzt ~ c H ein einfacher Bogen. Unter einem ~-Scheitel yon wird jeder Punkt q~ ~ verstanden mit folgender Eigenschaft: Zu jeder (beliebig kleinen) Umgebung U yon q auf ~ gibt es Fe~ derart, dass Uc~F mindestens vier Punkte enth~ilt. Aus allgemeinen S~ttzen fiber Systeme yon OCh mit der Grundzahl Drei ergibt sich fiir (einfache) Kurven ~ ~ H beziiglich f: (1) Gentigt ~ gewissen Voraussetzungen lokaler Natur, unter anderem direkt-infinitesimalgeometrischen Bedingungen, beziiglich [, insbesondere