Einleitung
I n der Theorie der stationaren stochastischen Prozesse, insbesondere in der Spektral-und in der Extrapolationstheorie, spielt die Darstellung durch gleitende Mittel eine bedeutende Rolle. So ist z. B. das nichtzufiillige SpektralmaB eines stetigen stationaren stochastisehen Prozesses {x(t)},,R genau dann bezuglich des LEBESGUE-MaBeS absolutstetig, wenn {x(t)}teR eine Darstellung durch gleitende Mittel gestattet ([8], Satz 15); der ProzeB {z(t)}tER ist genau dann regulur, wenn er eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel gestattet ([S], Theorem 2 ; [Q], Satz 5). Einige dieser Resultate wurden in [2] auf stetige homogene zufiillige Felder und in [ 5 ] , [14] bzw. 1121 auf mehrdimensionale bzw. hilbertraumwertige stationiire stochastische Prozesse ubertragen. I n der vorliegenden Arbeit ubertragen wir einen Teil der hier referierten Ergebnisse auf verallgemeinerte stationare stochastische Prozesse (im Sinne von
[16], Abschnitt 1.2.) auf dem Produkt G = R x Gder Gruppe R und einer heliebigen abelschen Gruppe Gmit Werten in einem BANAcH-Raum. Da man jedem solchen ProzeB in naturlicher Weise (s. Satz 3.1.) einen verallgemejnerten stationaren stochastischen ProxeB auf dem Produkt 2 x Gzuordnen kaiin, lassen sich die meisten der in dieser Arbeit formulierten Aussagen durcli Zuruckfuhrung auf entsprechende Aussagen aus [ 191 beweisen. Die Arbeit besteht aus vier Kapiteln. I n Kapitel 1 fuhren wir einige Funktionenraume ein, die in den weiteren Untersuchungen benotigt werden. InKapitel2 stellen wir einige Tatsachen aus der Theorie der liiiearen Operatoren im HILBERT-Raum bereit. In Kapitel 3 spezialisieren wir Resultate aus [18] auf den Fall G+ = R und erhalten auf diese Weise Satze uber die Darstellung von Pmxessen der hier betrachteten Klasse durch gleitende Mittel. In Kapitel 4 gelangen wir zunachst auf die gleiche Weise zu Satzen iiber Darstellungen durth einseitige gleitende Mittel ; im AnschluB daran beweisen wir, dalj die erhaltenen Aussagen umkehrbar sind. Die in [l6], [17] und [lS] eingefiihrten Bezeichnungen werden in der vorliegenden Arbeitmeist ohne Kommentarverwendet. Insbesnndere schreiben 30 Schmidt, Verallgemeinerte stationare stochastische Prozesse wir 1) U(G, 7e) bzw. E(G, 3) (G : abelsclie Gruppe) fur die Klasse aller unitaren Darstellungen voii G fiber 7e bzw. fur die Klasse aller verallgemeiiierten slutionuren stochastischeii Prozesse auE G uber 3 und 'X(GJt ,A?) (G+ : geordnete abelsche Gruppe, G;, = {ti E G' 1 5-2 0)) fur die Klasse aller isomeirischen Darstellungen von G,= uber 2 . Ferner bezeichiiete
- Definitionen und Eigenschaften einiger Funktionenraume 1.1. Es bezeichne R die additive Gruppe der reellen Zahlen, .
Der B~rjscH-Raurn Lp : = Lp( R) ( 1 5 p < 00) besteht aus allen (dyuivalenzklassen von) auf R definierten komplexwertigen (LEBESGUE-)meBbaren Funktionen x mit der Eigenschaft A D O (1.1.1) J Iz(s)iPds< 03 , -der BANACH-Raum L p ( 3 ) : = L p ( 3 , R) aus allen (Aquivalenzklassen von) auf K definiertenFunktionenz mit Wertenin 3 m i t denEigenschaften ([l], 4.3.4., 4.5.6.): 1. Fur jedes f* E 3* ist die skalarwertige Funktion .r + (z(s),f*) (s E R) (LEBEsGlJE-)mefibar. 2. Es esistiert eine 3fenge N ( z ) R vom LEBESGUE-Ma0 Null sowie ein separabler Teilrauin 3(2) von 3 mit der Eigenschaft z ( R \ N ( z ) ) & 3(z). 3. Es gilt + -(1.1.2) Ilz(s)llPds< 00 . -m Die Normen in den Raumen Lp bzm. P(3) sind durch 1 bzw. 1 gegeben. ~~ l)x, x bzw. 3 bezeichne in vorliegender Srbeit stets einen (komplexen) HILBERTbzw BaNAcH-Raum.