Verallgemeinerte André-ebenen mit epimorphismen auf Hjelmslev-Ebenen
✍ Scribed by Manfred Dugas
- Publisher
- Springer
- Year
- 1979
- Tongue
- English
- Weight
- 877 KB
- Volume
- 8
- Category
- Article
- ISSN
- 0046-5755
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✦ Synopsis
Diskret bewertete, vollst~indige K6rper mit endlichem Restklassenk6rper nennen wir lokal. Es seien F, K lokale K6rper mit K __q Fund F: K endlich, unverzweigt und = eine Abbildung von F* = F{0} in P = Gal(F: K). Dann kann man aufFeine neue Multiplikation o durch a o 0 = 0 und a o b = a"Cb~b fiJr b ¢ 0 definieren. Rink [12, Satz 2.3] beschrieb, wann F(+, o) = F~ ein verallgemeinertes Andr6-System ist. Sei w eine diskrete Bewertung yon F und R = {x ~ F I w(x) >. 0} und 1 = {x e F] w(x) > 0}. Dann sei R der maximale kompakte Teilring yon Fund I sein maximales Ideal. Dann ist q~ (x -+ x + I) eine Stelle von Fund ~o, (x -+ x + I ") ein Epimorphismus von R auf den Hjelmslev-Ring R, = R/1 ~, der einen Epimorphismus der desarguesschen Ebene tiber F auf die endliche, desarguessche Hjelmslev-Ebene tiber R, induziert. Rink [12] untersuchte, wann ~ol auch eine Stelle von F, ist. Wir wollen untersuchen, wann ~,, n e N einen Epimorphismus der projektiven Ebene tiber F~ auf eine projektive Hjelmslev-Ebene induziert. F*(.) besitzt eine Zerlegung F*(.) = (~r) x ~ x E, wobei w(~-) = 1, E die Gruppe der Einseinheiten yon R und ~ das multiplikativ abgeschlossene Vertretersystem ftir R/I ist. Wir werden zeigen, dab ~0, genau dann einen Epimorphismus auf eine Klingenbergebene induziert (die dann eine stark n-uniforme Hjelmslev-Ebene ist), wenn (*) a(rrmre) = ~(~r~r) ist ftir alle -n < m < n und r e ~, e e E. Fiirn = 1 ist dies gerade die Aussage von Rink [12, Satz 5.1]. Rink [12, Satz 6.3, 6.6] konstruierte Ebenen, die die Bedingung (.) fiir allen ~ N erffillen, so dab diese Ebenen Limites von n-uniformen Hjelmslev-Ebenen im Sinne von Artmann [3] sind. Oberdies haben die von Rink [12, Satz 6.6] konstruierten Ebenen die Eigenschaft, dab sie Limes nicht isomorpher projektiver Systeme von Hjelmslev-Ebenen sind. Ist ~= eine von Rink [12, Satz 6.3] konstruierte Ebene, so induziert die Kollineationsgruppe von ~ in jedem ~" eine Gruppe yon Kollineationen, die wiederum die volle Kollineationsgruppe in e~l induziert, so dab hier-meines Wissens die ersten-Beispiele nicht desarguesscher Hjelmslev-Ebenen vorliegen, deren Kollineationsgruppe die voile Kollineationsgruppe ihrer kanonischen epimorphen Bilder induziert. Um zu diesen Resultaten zu gelangen, mtissen wir eine Koordinatisierung projektiver (Klingenberg-) Ebenen vornehmen, wie sie ~ihnlich schon in Specialf~illen von Cronheim [6] benutzt wurde. Als
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Ein verallgemeinertes Andr#System ist eine algebraische Struktur F(+,., o) mit folgenden Eigenschaften: (j) F(+, .) ist ein K~Srper (ij) F(+, o) ist ein Quasik~Srper (iij) Ist b ~ FI{0}, so ist die durch definierte Abbildung ein Automorphismus yon F(+, .). Ist F(+, -, o) ein verallgemeinertes Andr