Uber die Lage der Wurzeln algebraischer Gleichungen
XqL -"]"?1-1 + a2X%-B -. . . + (-l)%an = 0 , dereii Koeffizienten a, gewissen einschrLnkenden Bedingnngen uiiterworfen sind, fiir sog. Klassen algebraischer Gleichungen, wurden schon vielfach Schrankensatze a,ngegebenl). Jedoch die Frage nach der Haufiglieit dieser Wurzeln, d. h. nach der Wahrscheinlichlieit, niit der eine komplexe Zahl Wurzel einer Gleichung der Klasse ist, wurde erstmals von W. SPECHT~) aufgegriffen und fiir algebraische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten gelost. Diese Untersuchungcn sollen hier fur Gleichungen mit, reellen Koeffizienten fortgesetzt irerden, wobei allerdings weseiitliche Koniplikationen der Da,rstellung auftrcten. Iiisbesondere wird die Frage nach der Wahrscheinlichkeit pl(R) behandelt, init, der eine Gleichung dcr Klasse genau I Wurzeln im reellen Interval1 R hat.
I. Das ReellitatsmaS yL(St) 1. Einer algebraischrn Gleichung mit reellen Koeffizienten
5 ~t -(-11 y -1 + a2 p -2 -. . . + (--l)%a, = 0 eiit spricht umlrehrhar eindeutig eiii Punkt ( a ) = ("1, a2, a3 ' . . 1 an) ties ~~-climeiisionalen euklidischen Raumes. Damit ist jeder Teilmenge dicses Raunies eiiie cindeutig bestimintc Menge algebraischer Gleichungen des Grad c s n als geonietrisches Bild zugeordnet. Eine Meiige derartiger Gleichungen nennen n ir eiiie Klasw 9 algebraischcr Gleichungen des Grades n , wenn ihr geoiiietrisches Bild folgende Eigeiischaften besitzt : 1 . Die Bildmenge 5 1 im n-diniensionalen Raurn ist abgeschlossen und beschrankt. l) Eine umfangreiclte Bibliographir 1st zii finden bei M. MARDXN, The geometry of 2, 17gl, W. SPECHT, Untersuchungen uber die IVurzelverteilung algebraischer Glri-tlic zeros ot a polynomial in a complcx variable. NewYork 1949. cliuiigen. Diese Nachr. 1. 126-149 (1950).
Finzel, Wahrscheinliche Lage der Wurzeln reeller algebraischer Gleithunger,
2 . Die Bildrnenge
St besitzt einen positiven n-dimensionalen Inhalt J,( 3. Jeder Schnitt der Bildmenge ft mit einer E-dimensionalen Hyperebene
besitzt einen k-dimensionalen Inhalt.
Bequemlichkeitshalber werden wir auch daa geornetrische Bild einer Klasse algebraischer Gleichungen im n-dimensionalen Raum eine Klasse nennen und jeweils mit dem gleichen Buclxtaben bezeichnen. Entsprechend werden wir eine Gleichung 2 7 1a,xn-l + azx"-2 -. . . + ( -l ) n a , = 0 mit ihrer Koeffizientenreihe oder dem zugeordneten Punkt (a) des Raunies identifizieren. 2. Bei den folgenden Untersuchungen ist es wesentlich. w ie viele reelle und Aus den mit den Wurzeln der Gleichung ( a ) gebildeten Yotenzsummen wie viele komplexe Wurzeln eine Gleichung ( a ) jeweils hesitzt : D,(a) = so s, . . . s,-1 s1 sz . . . sy S y -1