Einleitung
In [9] haben wir uns mit topologischen Existenzbeweisen fur eine Klasse regdirer und singuliirer funktionentheoretischer Randwertaufgaben beschiiftigt. Als Anwendung ergaben sich Existenzbeweise fur permanente Schwerewellen. Hier soll der in [9] angekundigte Existenzbeweis fur per- manente Kapillar-Schwerewellen mitgeteilt werden. Obwohl wir inzwischen in [ 131 im Rahmen von konstruktiven Existenzbeweisen fur eine umfassende Klasse freier Randwertprobleme wesentlich weitreichendere Existenz-und Eindeutigkeitsaussagen bewiesen haben, soll der folgende topologische Existenzbeweis doch angegeben werden, weil er eine interessante Anwendung einer Verallgemeinerung der Methode der monotonen Minoranten von KRASNOSELSKI darstellt . 1956 skizzierte SEKERSH-ZENKOWITSCH [7] in einer Doklady-Note einen Existenzbeweis fiir Kapillar-Schwerewellen unendlicher Tiefe. 1963 gab H. BECKERT [2] uber den Fixpunktsatz von SCHAUDER erstmalig einen topologischen Existenzbeweis fur Kapillar-Schwerewellen endlicher Tiefe. Diescin Existenzbeweis folgten topologische Existenzbeweise von BA-SALIJ [I] (Ableitung von FRI~CHET im Anschlul3 an DANILJUK [S]) und ZEIDLER [I 13 (Bifurkationstheorie von ~S N O S E L S K I unter Benutzung von ZEIDLER [9]). Der hier gegebene Existenzbeweis ist in einem gewissen Sinne eine Modifikation von [3]. An Stelle des Fixpunktsatzes von SCEAUDER benutzen wir eine vom Verfasser in [I21 rtngegebene Verallgemeinerung der Met hode der monotonen Minoranten von KRASNOSELSKI. Dadurchergeben sich gewisse Vereinfachungen. I n den Bezeichnungen RchlieBen wir uns [13] an.
1. Das Randwertproblem
Nach [I 31 fiihrt das physikalische Problem der Existenz von permanenten Kapillar-Schwerewellen endlicher Tiefe auf das folgende funktionentheoretische Ra.ndwertproblem :