Yon ?/IATTIIIAS G:CNTHER in Leipzig (Eingegnngen am 5.9.1985) 1. Einleitung Wir behandeln in der vorliegenden Arbeit ein freies Randmertproblem der physikalischen Geodasie, auch fi~oLoDE~sKY-~rob~em genannt. Es besteht grob gesprochen darin, die Gestalt eines Korpers (insbesondere der Erde) aus Messungen cles GravitationspotentiaIs und der Gravitationskraft a n seiner Oberfliiehe zu bestimmen. Genauer: 1st S c R J die Einheitssphiire unci sind ll?, 0 = (Gl, G1, G:) auf 5' gegebene Funktionen, ttann ist ciiie Einbettung rp : 8-I1 gesucht, so darJ gilt: dabei ist zu das Gravitations1,otential des gesuchten Korpers. Fiir die Ercle kann 70 in cler Forni (!) 2 za(x)=v(z)+_7 ( i i f d ) , z=(x,, Z?, X,!) d dargestellt werden. wobei v eine harmonische Funlrtion aufierhalb von q ( S ) ist und co die Winkelgeschwincligkeit der Rotation um die z,-Achse ist. Alle bekannten Existenzaussagen fur dieses Problem sincl lokaler Natur, d. h. man bleibt in der Nahe einer bekannten Ausgangsfigur q,,(S) mit bekannten Werten IF,,, Go. Dabei mussen rp,,, IVO, Go naturlich gewissen Voraussetzungen genugen, und die Aufgabenstellung ist etwas zu modifizieren, da das linearisierte Problem Eigenlbsungen besitzt (vgl. Abschnitt 3). Mathematisch exakt wurde das Problem erstmals von L. HORMANDER [3] behsndelt. E r zeigt u. a. die Existenz einer Losung fur ll W -W0//2+sr //G-G0//2+a hinreichend klein; dazu wird in [3] als wesentliches Hilfsmittel ein verallgemeinerter Satz iiber inverse Funktionen (Satz vom MOSER-NASH Typ) bewiesen. ll*/lm+A mit r n ~N und 0 4 A -c 1 bezeichnet dabei eine Norm im Raum C" + A der m-ma1 stetig differenzierbaren Funktionen, deren m-te Ableitungen einer Holderbedingung mit dem Exponenten A genugen. Ein anderer Zugang findet sich bei F. SANSO [9]; dort werden Ergebnisse von D. KINDERLEHRER und L. NJRENBERG [5] benutzt. &lit Hilfe einer LEGENDRE Transformation kann das Problem auf die Losung eines Randwertproblems fur eine nichtlineare, elliptische Gleichung in einem bekannten Gebiet zuriickgefiihrt