Es sei V eine vollstandige, n-dimensionale RIEMANNsche Mannigfaltigkeit der Klasse C". 1st y eine auf V stetige Funktion, so sei M,[cp] (x) bzw. K, [cp] (x) der spharisclie Mittelwert der Funktion y uber den Rand einer geodatischen Kugel vom Radius t und mit dem Mittelpunkt x bzw. uber diese Kugel selbst. Diese Mittelwerte lessen sich fur (im wesentlichen) alle t > 0 definieren (vgl. [I] und die dort zitierte Literatur). I n der vorliegenden Note wird gezeigt : M , [cp] (x) ist bei festem x und fur alle y dann und nur dann eine periodische Funktion von t mit der Periode 2 L, wenn alle von x auslaufenden geodatischen Linien von V nach Durchlaufen einer Strecke der Lange 2 L wieder in x einmunden, moglicherweise mit einer anderen als der Ausgangsrichtung. Der gleiche Satz gilt auch fur K,p, falls dim V gerade ist und die Orientierbarkeit von T' vorausgesetzt wird. Es sei B eine vollstandige, n-d mensionale RrEMANNsche Mann'gfaltiglieit der Klasse C". Fur x E V sei T, der zugehorige Tangentialraum. Exp, : T, --f V sei die Exponentialabbildung, die wegen der Vollstandigkeit von V den Tangentia'raum auf ganz V abbildet. Jedem Vektor a E T, sei eine Orientierung ~~( a ) von V im Punkte Exp, a E V zugeordnet, so daB €,(a) stetig von a abhangt. Da T, einfachzusammenhiingend ist, 1aBt sich nach dem Monodromieprinz'p stcts ein solches F , ~ (a) finden. I n T, werde eine Orientierung el gewahlt, und es sei t, das Volumenelement von T, . 1st w das Volumenelement von V , so ist Exp; ( ( 1 ) ) = F , Exp: ( F w ) = T; ein weiteres Volumenelement in T,. Es gibt dann eine Punktion U,(a), a t T,, so daB zk = U , t, gilt. und &,(a) s e i n so aufeinander abgestimmt, daB U,(0) = I. Im ubrigen ist die Funktion U,(n) von der K awe C-. Ferner sei r = la 1, t, = dr A ox,