Nous introduisons une semi-norme sur un espace de fonctions C sur un espace syme trique re ductif GÂH. Nous montrons que les fonctions C , K-finies, propres sous l'action de l'algeÁ bre des ope rateurs diffe rentiels G-invariants, et pour lesquelles cette semi-norme est finie, de me^me que pour ses de rive es par les e le ments de l'algeÁ bre enveloppante de l'algeÁ bre de Lie de G, sont tempe re es. Re ciproquement, on explicite cette semi-norme pour les fonctions tempe re es K-finies qui sont propres pour un caracteÁ re re gulier de l'algeÁ bre des ope rateurs diffe rentiels G-invariants. L'application de ces re sultats aux inte grales d'Eisenstein permet d'e tablir des relations d'orthogonalite de Schur ge ne ralise es. Notre travail ge ne ralise et pre cise des re sultats de H. Midorikawa (1988, Adv. Stud. Pure Math. 14, 257 287) pour les groupes.
2001 Academic Press
Mots-cle : espace syme trique re ductif; repre sentation des groupes et des algeÁ bres de Lie; de veloppements asymptotiques et convergents; terme constant d'une fonction tempe re e; inte grales d'Eisenstein.
We introduce a seminorm on a space of C functions on a reductive symmetric space GÂH. We show that the C K-finite eigenfunctions of the algebra of all G-invariant differential operators on GÂH for which this semi-norm is finite, as well as for their derivatives from the left, are tempered. Reciprocally, we make explicit this seminorm for the K-finite tempered eigenfunctions with a regular character. Applying those result to Eisenstein integrals, we obtain general Schur orthogonality relations. Our work generalizes and specifies the results of H. Midorikawa (1988, Adv. Stud. Pure Math. 14, 257 287) in the group case. 2001 Academic Press 0. INTRODUCTION Les coefficients de la se rie discreÁ te d'un groupe de Lie unimodulaire G appartiennent aÁ L 2 (G) et on peut calculer leur produit scalaire L 2 gra^ce aux relations d'orthogonalite de Schur. Plus pre cise ment, si (?, H) est une