Reihenentwicklungen von Produkten zweier Sphäroidfunktionen nach Produkten von Zylinder- und Kugelfunktionen

✍ Scribed by Josef Meixner

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1949
• Tongue: English
• Weight: 792 KB
• Volume: 3
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19490030402

✦ Synopsis

1. Formulierung des Hauptsatzes. Fur die Losungen der Differentialgleichung der Sphiiroidfunktionen d (1 -22) -& dY + ( A + 72-P8 -729) y = 0 dz kennt man mehrere verschiedene Entwicklungen nach Kugelfunktionen sowie nach Zylinderfuhktionen. Unser Ziel ist es, digl meisten dieser Entwicklungen als Spezialfalle einer allgemeinen Reihenentwicklung, die mehrere willkurliche Parameter enthalt, zu gewinnen. Fiir die Mathieuschen Funktionen, die sich als Losungen von (1) irn Spezialfall ps = t ergeben (abgesehen von einer einfachen Transformation in der abhangigen und unabhiingigen Veranderlichen), wurde in einer friiheren Arbeit 1) eine solche allgemeine Reihenentwicklung angegeben. Die dort durchgefuhrte heuristische Betrachtung lafit sich auf den Fall p2 + 4 iibertragen.

Seien x, y, z cartesische Koordinaten, r , 9, q Kugelkoordinaten und t , 7, Koordinaten des verlangerten Rotationsellipsoids. Zwischen ihnen bestehe der Zusammenhang

c und OL seien Konstanten. In jedem dieser drei Koordinatensysteme l&Bt sich die dreidimensionale Wellengleichung

(3) separieren. Man wird nun erwarten, daS sich eine Liisung von (3), welche in t , q , ~1 separiert ist, nach Usungen entwickeln liiBt, die in r , 6, Q separiert sind.; d. h. daS das Produkt z%eier Sphiiroidfunktionen mit den Indizes v , p sich naoh Produkten von Zylinderfunktionen in kr und Kugelfunktionen in 00s 6, noch multipliziert mit r-4, entwickeln liil3t.