Reihenentwicklungen von Produkten zweier Mathieuschen Funktionen nach Produkten von Zylinder- und Exponentialfunktionen

✍ Scribed by Josef Meixner

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1949
• Tongue: English
• Weight: 267 KB
• Volume: 3
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19490030106

✦ Synopsis

Seien x, y cartesische, 5 , 21 elliptische und e, q~ Polarkoordinaten. Zwischen ihnen bestehe der Zusammenhang (1) x f iy = c cos(fi[q) = ee*w + c a . c und a seien Ronstanten. I n jedern dieser Koordinatensysteme 1aBt sich die zweidimensionale Wellengleichung separieren. Die Separation ih elliptischen Koordina.ten fuhrt auf Losungen der Wellengleichung, die ein Produkt einer Mathieuschen Funktion in q und einer zugeordneten Mathieusohen Funktion in { sind; die Separation in Polarkoordinaten liefert Losungen der Wellengleichung, welche ein Produkt einer Zylinderfuaktion 8" (Ice) mit einer Exponentialfunktion ertivV sind. Es liegt nahe, zii erwarten, da13 sich die erstgenannte Losiing nach Losungen voni zuletzt genannten Typ entwickeln la13t. Die Mathieusche Differentialgleichung lautet (3) fi + ( A -2h2cos 27)" = 0, w die zugeordnete Mathieusche Differentialgleichung (4) Zwisohen ihrem Parameter A und der Wellenzahl k in der Wellengleichung besteht der Zusa.mmenhang 2 h = kc. Wir setzen also eine Entwicklung m 00 Y?(E, 7 ; k, a) = Y'd,opl 3 I d t $ i t t= dm -t=-m e = c f[ms ( i t -9) -a] [coati€ + 9) -a], (5) an, worin cos ( i €q) -a &* = COB (it + 7))a *