Rang-3-Ebenen mit einer Bahn der Länge 2 auf der uneigentlichen Geraden

✍ Scribed by Heinz Lüneburg; T. G. Ostrom

• Publisher: Springer
• Year: 1975
• Tongue: English
• Weight: 207 KB
• Volume: 4
• Category: Article
• ISSN: 0046-5755
• DOI: 10.1007/bf00148758

✦ Synopsis

RANG-3-EBENEN MIT EINER BAHN DER LANGE 2 AUF DER UNEIGENTLICHEN GERADEN Ziel dieser Note ist, den folgenden Satz zu beweisen. SATZ. Ist 9I eine endliche affine Ebene und besitzt 92 eine Rang-3-KoIlineationsgruppe, die auf der uneigentlichen Geraden yon 9~ eine Bahn der Liinge 2 hat, so ist 92 eine verallgemeinerte Andrd-Ebene oder aber die Ordnung yon 92 ist gleich 5 z, 7 2, 112, 23 2, 29 2 oder 59 2. Der grfBte Teil der Arbeit ist bereits geleistet, denn nach Kallaher und Ostrom [8], Kallaher [7] und Liineburg [9 und 10] kommt als einzige m6gliche Ausnahme noch die Ordnung 2 6 vor, so dab wir nur noch zu zeigen haben, dab 2 6 keine Ausnahme ist. Was die anderen im Satz angef'tihrten Ordnungen anbelangt, so gibt es zu jeder dieser Zahlen wenigstens eine Ebene dieser Ordnung, die die Voraussetzungen des Satzes erfiiUt, die jedoch keine verallgemeinerte Andr6-Ebene ist. In den F/illen 5 z, 23 2, 29 2, 59 2 gibt es je genau eine Ausnahmeebene und im Falle 1 1 z genau zwei. Im Falle 7 2 gibt es wenigstens zwei Ausnahmeebenen (Liineburg [10]). Es sei nun 92 eine Ebene der Ordnung 2 6 und G sei eine Rang-3-Kollineationsgruppe yon 92, die aufg~o eine Bahn der L~inge 2 habe. {P, Q} sei diese Bahn. Nach Kallaher [6] ist 92 eine Translationsebene und die Translationsgruppe T yon 9i ist in G enthalten. Es sei O ein Punkt yon 9~ und es sei H= Go. Dann ist H~,=He, Q=HQ und [H:He, QI=2. Setze M=Hp, Q. Nach Kallaher