DIE GRUPPE DER PROJEKTIVITATEN EINER GERADEN AUF SICH IN ANDRI2-EBENEN VOM GRAD 2* Ftir eine projektive Ebene/7 und eine Gerade Y aus//bezeichne ~r die Gruppe aller Projektivit~iten yon Y auf sich selbst. Da ~r, als Permutationsgruppe betrachtet, unabh~ingig vonder Wahl der Geraden Y ist, kann man kurz yon der Projektivit~itengruppe ~ = ~(F/) ~ ~r der Ebene/7 sprechen 1. A.Herzer bestimmte die Gruppe ~ f'tir zwei Klassen endlicher Translationsebenen vom Grad 2, niimlich fiir die Ebenen iiber den regul~iren Fastk~Srpern vom Grad 2 (in [7]) und fiir die endlichen Hall-Ebenen (in [9] und [10]). Er zeigte, dab ~y im ersten Fall mit der symmetrischen Gruppe ®r tibereinstimmt, im zweiten Fall gilt ~3y =9~r ftir Ebenen gerader Ordnung und ~3~, = ®i, fiir Ebenen ungerader Ordnung. Dasselbe Ergebnis wurde yon Herzer auch ftir eine Schar spezieller Andr6-Ebenen yon ungeradem Primzahlgrad nachgewiesen ([8] und [10]). Die vorliegende Arbeit behandelt die Andr6-Ebenen yore Grad 2, zu denen auch die oben erwiihnten Fastk6rper-und Hall-Ebenen geh~ren ( § 1). Fiir die Untersuchung der Projektivitiitengruppe dieser Ebenen werden wesentlich auf A. Bochert [3] zuriickgehende Zusammenh~inge zwischen dem Grad und dem Minimalgrad einer mehrfach transitiven Permutationsgruppe benutzt ( §2) 2. Als Hauptresultat dieser Note wird gezeigt ( §3): Ftir alle Andr6-Ebenen vom Grad 2, deren Projektivit~itengruppe vierfach transitiv ist oder die sich durch ein Andr6-System Aa, ~,, 2, ~ mit nz >__ 2ez 3 erzeugen lassen, operiert ~r als alternierende bzw. symmetrische Gruppe auf Y je nachdem, ob die Ordnung von H gerade oder ungerade ist*. Hierin sind die oben angegebenen Resultate von Herzer, betreffend die Fastkfrper-und Hall-Ebenen, als Spezialf~ille enthalten, denn zum einen ist die Projektivi-t~itengruppe der hier betrachteten Fastk6rperebenen nach einem Ergebnis yon Joussen [12] vierfach transitiv und zum anderen lassen sich die endlichen Hall-Ebenen tiber Andr6-Systemen A~,,o, 2, ~. mit e~ = 1 darstellen. * Meinem verehrten Lehrer, Herrn Prof. J. Jousseu, der diese Arbeit angeregt und betreut hat, danke ich ffir seine Bem~ihungen recht herzlich. 1 Ffir n~ihere Einzelheiten sei auf Joussen [12] verwiesen. Dort und bei Herzer [7] finder sich auch eine Zusammenstelltmg der wichtigsten Ergebnisse fiber Projektivitatengruppen. Erw~ihnt sei bier nut, dab ~(H) stets dreifach transitiv ist. 2 Siehe hierzu Wielandt [14], S.42. 3 Zur Definition des Systems A~,o.2,~. und der zugeh6rigen Parameter na und ex siehe § 1. 4 Dabei wird folgender yon Herzer in [10] bewiesene Satz benutzt: Ffir jede endliche Andr6-Ebene H gerader Ordnung enthalt ~(//) keine ungerade Permutation.