Points rationnels sur les familles de courbes de genre au moins 2

✍ Scribed by Teresa de Diego

• Publisher: Elsevier Science
• Year: 1997
• Tongue: English
• Weight: 482 KB
• Volume: 67
• Category: Article
• ISSN: 0022-314X
• DOI: 10.1006/jnth.1997.2146

✦ Synopsis

On donne, pour les familles alge briques de courbes de genre au moins 2, une version uniforme de la de monstration de Vojta Bombieri du the oreÁ me de Faltings. On en de duit une borne uniforme du nombre de points rationnels sur certaines familles.

1997 Academic Press

For algebraic families of curves with genus at least 2, we give an uniform version of Faltings' theorem, using Vojta Bombieri methods. We deduce an uniform bound of the number of rational points on some families. 1997 Academic Press 1. INTRODUCTION Soit k un corps de nombres, et soit k une clo^ture alge brique de k. Soit C une courbe projective sur k, lisse et de genre g 2. Faltings a de montre en 1983 (voir [5]) la conjecture de Mordell qui dit qu'alors l'ensemble C(k) des points rationnels de C est fini.

Vojta a donne une nouvelle de monstration en utilisant la the orie de l'intersection et des approximations diophantiennes (voir [21]). Cette de monstration a e te simplifie e par Faltings (1991, voir [6]) et Bombieri l'a re e crite dans le langage de la the orie e le mentaire des hauteurs (cf. [1]). Elle donne le the oreÁ me suivant.

The ore me 1 (Vojta, voir [1]). Soit C une courbe de finie sur un corps de nombres k, de genre g 2. On consideÁ re C comme plonge e dans sa jacobienne J et l'on note | | la norme euclidienne sur J(k ) R associe e au diviseur the^ta. Il existe une constante # 1 (C), ne de pendant que de C, et il existe une constante # 2 (g), ne de pendant que de g, telles que si k$ est une extension finie de k, on ait Card

Le re sultat principal de ce texte (The oreÁ me 2, voir Chap. 2) est une version uniforme de ce the oreÁ me lorsque la courbe varie dans une famille article no. NT972146 85 0022-314XÂ97 25.00