Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Teil I Numerische Methoden zur Lösung mathematischer Probleme
1 Einleitung
1.1 Entwicklung des Rechnens
1.2 Unterschiede zwischen analytischen und numerischen Methoden
2 Darstellung und Fehler
2.1 Rundungsfehler
2.2 Fehlerfortpflanzung
3 Lösung von Gleichungen mit einer Variable
3.1 Intervallschachtelung
3.2 Sekantenverfahren
3.3 Regel vom falschen Ansatz – Regula Falsi
3.4 Das Newton–Raphson Verfahren
4 Interpolation und Approximation
4.1 Interpolation mit Polynomen
4.1.1 Lagrangesche Polynominterpolation
4.1.2 Newtonsche Polynominterpolation
4.1.3 Hermitesche Polynome
4.2 Spline Interpolation
4.3 Trigonometrische Interpolation
4.4 Approximation – die inverse Analyse
4.5 Künstliche Intelligenz
5 Integration und Differentiation
5.1 Numerische Integration
5.1.1 Mittelpunkt- und Trapezregel
5.1.2 Newton–Cotes Quadratur
5.1.3 Gaußsche Quadratur
5.1.4 Quadratur im mehrdimensionalen Raum
5.2 Numerische Differentiation
6 Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
6.1 Einschrittverfahren
6.1.1 Euler-Vorwärts Methode
6.1.2 Euler-Rückwärts Methode
6.1.3 Mittelpunktregel
6.1.4 Trapezregel
6.2 Prädiktor-Korrektor Verfahren
6.2.1 Adams Verfahren
6.2.2 Runge–Kutta Methode
6.3 Systeme mit mehreren Gleichungen
7 Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen
7.1 Beispiele aus der mathematischen Physik
7.2 Beschreibung der Randbedingungen
7.3 Finite-Volumen-Methode
7.4 Finite-Elemente-Methode
8 Numerische Lösung der Gleichungssysteme
8.1 Die Gauß Eliminationsmethode
8.1.1 LU Zerlegung
8.1.2 Cholesky Zerlegung
8.2 Iterative Methoden
8.2.1 Richardson Verfahren
8.2.2 Jacobi Verfahren
8.2.3 Gauß–Seidel Verfahren
8.2.4 Relaxation
8.2.5 Verfahren der konjugierten Gradienten
9 Kurzfragen zur Wiederholung
9.1 Szenario für einen neuartigen Rechner
9.2 Szenario für den Rundungsfehler
9.3 Szenario für den Algorithmus zur Lösung einer Gleichung
9.4 Szenario für nicht passende Interpolationsmethoden
9.5 Szenario für FFT
9.6 Szenario für Approximation
9.7 Szenario für numerische Integration
9.8 Szenario für numerische Integration
9.9 Szenario für numerische Integration
9.10 Szenario zur Wahl der Methode zur Lösung einer partiellen Differentialgleichung
9.11 Szenario für die Implementierung der Wellengleichung
9.12 Szenario zur Wahl des Gleichungssystemlöser
Teil II Übungen zu den Methoden
10 Darstellung und Fehler
10.1 Zehnersystem und Binärsystem
10.2 Konditionierung
11 Lösung von Gleichungen mit einer Variable
11.1 Intervallschachtelung
11.2 Methode vom falschen Ansatz
11.3 Sekantenverfahren
11.4 Newton–Raphson Methode
12 Interpolation und Approximation
12.1 Polynom Interpolation
12.2 Spline Interpolation
12.3 FFT Methode
12.4 Approximation
13 Integration und Differentiation
13.1 Integration
13.2 Ableitung
14 Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Teil III Computerübungen mit konkreten Anwendungen
15 Einführung in Python
16 Binärsystem und Zehnersystem
17 Gleichungen mit einer Variable
18 Interpolation
18.1 Schrittweise Linearinterpolation
18.2 Lagrange Interpolation
18.3 Splineinterpolation
18.4 FFT einer Audiodatei
18.5 Übertragungsfunktion
19 Approximation
19.1 Lineare Regression
19.2 Nichtlineare Regression
19.3 Neuronales Netz für Wettervorhersage
20 Numerische Integration und Differentiation
21 Differentialgleichungen
21.1 Anfangswertproblem
21.2 Feder-Dämpfer System
21.3 1-D Deformation eines Biegebalkens
21.4 2-D elektrisches Feld im Kondensator
21.5 3-D Temperaturverteilung auf der Hauptplatte im Smartphone
Weiterführende Literatur