Zwisclien den Absolutv erten reeller Linearformen bestehen gewisse Ungleirhungen, die fur jedes Wertesystem der Veranderliclien gelten, z. B. die Dreiecksungleichung 1x1 + I yl 2 12 + yI . I n einer friiheren Arbeitl) hat der Verfasser gezeigt, daI3 alle diese Ungleichungen gultig bleiben, wenn man die reellen Wertesysteme durch Systeme beliebiger Vektoren eines Euklidischen Raumes belirbiger Dimension ersetzt und als Absolutwert eines Vektors dessen Liinge wahlt. Dieses Ergebnis legt die J'ermutung nahe, daB alle jene Ungleirhungen Folgerungen der Dreiecksungleichung seien, doch wird sich diese Annahnie im folgenden als irrig erweisen. I n einem Modul M iiber dem Korper P der reellen Zahlen konnen in verschiedener Weise Norrnierungen N eingefiihrt werden, d. 11. Operatoren, die jedes a E M auf seine Norm N ( a ) E P so abbilden. daB die folgenden Be'dingungen erfiillt sind : ( I ) Sind N ( u ) 2 0 , N ( p ) = l ~l N ( a ) fur e E P , N ( a ) + N ( 6 ) 2 N ( a + 6 ) . ( 2 ) 4 ( ~) , l z ( r ) , . . . , ~~( 4 , ~~( 4 , . . . fur (5) = ( x , , . . . , 2,J Linearformen iiber P und setzt man (3) so erhebt sich die Frage nach den Symbolpaaren L , R , die der Bedingung (4) L Z R fur jedes Wertesystem von (2) genugen, d. h. nach den semidefiniten Symbolen A = L -R . Ob ein Symbol semidefinit ist, hiingt auch von der Dimension von M , besonders aber von der Wahl der Normierung ab. Die Menge der fur frstes M , N semidefiniten Symbole bildet einen Halbmodul S ( N , M ) iiber denb Halbmodul der positiven Zahlen. Die Gesamtheit der S ( N , M ) bildet einen vollstandigen Verband A . Normierungen, die zum obersten Element S, VOII A gehoren, wie auch solche, die zum untersten Element So gehoren, werden festgestellt. H a t M eine endliche Dimension > 2 , so hat die Menge der Halbmoduln l ) F. W. LEVI, Ein Reduktionsverfahren fur lineare Vektorungleichungen. Arch. Math., Karlsruhe 2, 24-26 (1949).
L = N(2,(4) + N(2,(4) + ' -* + N ( l , ( z ) ) , R = N(r,(4) + N ( r z ( 2 ) ) + * -* + N ( T L ( 4 ) 1 26*