KREISSPIEGELUNGEN IN MOBIUSEBENEN Eine M6biusebene (im engeren Sinn 1) ist eine Inzidenzstruktur z (~3, R, e), bestehend aus einer nichtleeren Menge ~3 von Punkten und einer Menge R~0 von nichtleeren Teilmengen (Kreise genannt) von ~3 derart, dab ftir jeden Punkt P die abgeleitete Inzidenzstruktur de:= (~{P}, {k~{P} [ I P ek ~R}, e) eine affine Ebene ist. Eine wichtige Klasse von M6biusebenen erh/ilt man auf die folgende Art: In einem 3-dimensionalen projektiven Raum ~R, dessen Koordinatenk6rper K eine von 2 verschiedene Charakteristik besitzt, sei neine orthogonale Polarit/it 2 vom Index 1, ~3 die Menge der isotropen Punkte bzgl. n und die Menge der mindestens 2 Punkte enthaltenden ebenen Schnitte yon ~3. In einer solchen M6biusebene M(~, n) gelten u.a. die folgenden Eigenschaften: (i) An jedem Kreis k existiert eine Kreisspiegelung, d.h. ein yon der Identitiit versehiedener Automorphismus yon (~3, ~, ~), der tc punktweise festEiJ3t. (ii) In dem projektiven Abschlufl (wenigstens) einer abgeleiteten Inzidenzstruktur d e besitzt kein Viereck kollineare Diagonalpunkte.
(iii) 1st a eine Kreisspiegelung und sind P, Q verschiedene Punkte, so liegen die Punkte P, Q, P', Q" stets auf einem gemeinsamen Kreis z.
Zum Nachweis von (i) nehme man die involutorische 4 Homologie mit der k ausschneidenden Ebene als Achse und deren Pol als Zentrum. (ii) folgt aus char KS 2. Aus Lemma 1 folgt, dab die Kreisspiegelung cr aus (iii) yon einer involutorischen Homologie induziert wird. Daher liegen P, Q, P~, Q" auf einer Ebene durch das Zentrum der Homologie.
Wir kennzeichnen in der vorliegenden Arbeit die M6biusebenen M(~R, n) durch folgendes THEOREM. Yede M6biusebene (~, R, ~), die die Eigensehaften (i)-(iii) erfiillt, ist isomorph zu einer M6biusebene M(9t, re). 1 Siehe Benz [2]. 2 Im Sinne von Dembowski [4]. 8 Hierfiir sagen wit auch 'P, Q, pa, Q~ liegen konzyklisch'. 4 Involutorisch heiBt 'hat Ordnung 2'.