Eingcgangen am 8. 12. 1961) 1. I n dieser Arbeit sollen die wichtigsten Konstruktionsaufgaben der Geometrie, Konstruktion des Lotes von und in einem Punkt, Abtragung kongruenter Winkel und Strecken und Konstruktion desjenigen Eleinentes (Punkt oder Geuade), in bezug auf welches zwei gegebene Elemente spiegelbildlich liegen (z. B. Mittelpunkt oder Winkelhalbierende), fur die hyperbolische Geometrie behandelt werden. I n der euklidischen Geonietrie sind solche Konstruktionen allgeniein bekannt. Bls Konstrnktionsinstrumcnte sind vor allem gebrauchlich das Lineal und der Zirkel. Nan pflegt bei Untersuchungen uber Konstruierbarkeit die folgendeii Fragen zu stellen : a) Welche Konstruktionsaufgaben sind mit diesein otter jenem Instrument ausfuhrbar, b) Welche Instrumente heniitigt man, uiii diese oder jene Klasse voii Konstruktionsaufaben zu losen. I n der enklidischen Geometrie kaiin man mit dem Parallelenlineal. einein Instrument, das u her ein gewohnliches Lineal hinaus die Parallelverschic7oiiIi~ von Cferaden gestattet. die wichtigsteii Konstruktioiisaufgabeli der affiiieri Geonietrie h e n , z. B. die Konstruktion des hlittelpanktes einer Streckc. Konstruktion der Summe uiid des Produktes von Punkten einrr Znhlerigeraden USW. Zur Losung der nietrischen Koiistruktionsnufgatbcn pflegt iiiaii im allgcmeii~en den Zirkel heranzuziehen, niindcstcns aher das EichmaB (siehe [I 1). Die Theoric dcr Konstruktionen hat u. a. eiiie wichtige Xnxwiidung bei griindlagentheoretischen Untersuchunpeii, speziell bei Definicrbarkejtsfragen und Fragen der rekumiven 13ntscheidbarkeit geometrischc-J. Axiomensysteme (siehe [ 5 ] und [S]).
In [a] findet sich eiri Axiomensystem der (nichteleiiicntaren) hyperbolischen Geometrie, das kategorisch ist, d. 11. bis auf Isomorpliie als einziges Modell den Kmmschen Rauni (Einheitskugel im projektiven Rmm. bzw. Einheitskreis der projektiven Ebenc) uber dcni IGrper der rccllen Zahlen besitzt. I n [3] findet man ein vollstkndiges Axioniensystem (lei. elementaren hyperbolischen Geometrie. Ails der Vollsthndiglicit des Axiomensystems in [3] entnehmen u ir : Ein Ausdruck H der hyperbolischen Geometrie ist genau dann uber dem KLEINschen Rauin uber deni Korper der reellen Zahlen gultig, wenn er aus dem Axioniensystem ableitbar ist.