Eingegangen am 18.3. 1971) 8 1. Einleitung
Wir wollen in dieseni Aufsatz das folgende Problem untersuchen: Es sei V , eiii n-dimensionaler RIEMANNscher Ra.um voii rekurrenter Krummung, und es sei Vnp1 eine Hyperflache, fur die in einem Teilgebiet (moglicherweise in einem Punkt V,) b,, = 0 bzw. b,,l, = 0 bestehen, wo die b,, die Koeffizienten der eweiten Grundform bedeuten. Es soll bestimmt werden, unter welchen Bedingungen die Hyperflhche V,im Teilgebiet V , -, auch von rekurrenter Krummung sein wird. Es sollen ferner notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben werden, wenn die im vorigen charakterisierten Typen der Hyperflachen 8,-I h g s Vn-, alle von rekurrenter Krummung sind, so auch der Ba,sisraum V , liings V P 2 + , eiiiRa,um von rekurrenter Kriimmung sei.
Im Paragraphen 2 werden wir diejeiiigen Formeln bezuglich des Kriimmungstensors der RIElKANNschen Riiume znsammenstellen, die wir beniit,zen wollen. Auch die Fundamentalrelationen der Hyperflachen werden wir angeben -inwieweit diese benutzt werden. Hier bemerken wir, dn13 im folgenden die lateinisehen Indizes immer die Zahlen 1, 2, . . . , n ; w8hrend die griechischen Indizes die Zahlen 1, 2, . . ., (12 -1) bedenten. Die lateinischen Indizes charakterisieren also die Komponeiiten der GroBen des Basisraumes V , , und die griechischen Indizes kennzeichnen die Komponenten der GrijBen der Hyperflachen.
I n den Paragrsphen 3 und 4 wollen wir die eigentlieheii R'esultate iiber die Hyperflachen voii rekurrenter Krummung formulieren.
V,,-, (0 2 1) 8 2. Fundamentalformeln der R I E M A N K S C ~~I ~ Raume Es soll V , einen n-dimensionalen Rmmmmchen Raum bezeichnen, dessen metrischer Puiidamentaltensor qik(xl> 2 2 , . . . ~ xn) einen rekurrenten Krummungsteasor bestimmt,. Es gilt also :