1. Einleitung
Es werden aelbstadjungierte Differentialoperatoren betrachtet, die von dem Differentialauedruck (1) erzeugt werden. Daa verwendete Grundintervall 3 ist dabei die 2-Halbachse (0, m) oder die ganze Achse (-00, + m), und fiir die (reellen) Koeffizientenfunktionen p, (5) gelte immer
Durch die
Festlegung Lo y = 2[y], y = y(z) E D(Lo) =Cr(3), wobei c(3) die Menge der in 3 beliebig oft differenzierbaren (komplexwertigen) Funktionen mit kompaktem Tr&ger ist, wird dann ein im HILBEaTraum L2 (3) symmetrischer Operator L O definiert. Die Koeffizienten p , (2) werden so gewhhlt, daB der Operator Lo halbbeschrhnkt nach unten ist, so daB die &mDmmache Erweiterung gebildet werden kann, die mit L bezeichnet wird. Wir suchen nach Bedingungen fur die Koeffizienten pV(z), so daB der Fall eintritt, daB L keinen oder keinen nichtnegativen Eigenwert besitzt. Enthllt daa Spektrum von L keinen Eigenwert, so heiBt es rein stetig. Im Falle des Differentialoperators zweiter Ordnung (n = I ) werden bei x = 0 noch Randbedingungen der Gestalt (2)
beriicksichtigt. Entsprechend wird dann vorausgesetzt, da13
ist und a J I P I ( 4 I d G O < a < m , n konvergiert, so drtD der Endpunkt x = 0 a h regulhr zu bezeichnen ist [Q, S. 1631. Jedes a, 0 5 a < IC, bestimmt eine selbstadjungierte Erweiterung von LO, die 11. 1) Des ebsolut atetige Spektrum ist z. B. in [14, S. 2711 definiert. 2) Bei gewtihnlichen Differentieloperetoren gehiirt ein Punkt des Spektrume zum weeentlichen Spektrum gensu denn, wenn er kein iaolierter Eigenwert iet.