Eingegangen am 15. 10. 1988) s 1-Einleitung Die Losungen von Extremalproblenien bei quasikonfornien Abbildungen niit ortsabhgngiger Dilatationsbeschrankung sind eng verkniipft niit den1 Different.ialg1eichungssystem (1) u, = p ( z ) V", u, = -p( 2) 'vz hzw. in komplexer Form geschrieben (2) wz = .(z) niit w = u + iv, .Y(Z) : = ( p ( 2 ) -l)/(p(z) + 1). Die Losungen dieses Systems lassen sich durch die Forderung charakterisieren, ein modifiziertes DIRICmETsches Integral zu minimieren. Dieser Gedanke lag den Arbeiten von R. KCHITAU [ 141, [ 151 zugrunde. Man vergleiche dazu auch die zusammenhangende Darstellung in [19], S. 137ff. Dort stellt sich heraus, daB die estremalen.Werte gewisser fiir eine Klasse p(z)-quasikonfornier Abbildungen definierter Funktionale sich jeweils als i.linimalwert ekes modifizierten DIRICHLETschen Integrals erweisen. Die so gewonnenen Variationscharakterisierungen gaben AnlaB zu beiderseitigen expliziten Abschatzungen der extremalen Werte der betrachteten Funktionale, in dem zulassige Funktionen in diese Integrale eingesetzt v r d e n . Schon die triviale identisch verschwindende zullssige Funktion liefert dabei einfache AbschLtzungen, die in einem gewissen Sinne fur kleine Werte von p ( z ) -1 asymptotisch scharf sind. Eine weitere Verscharfung der Abschatzungen bei gleichzeitiger Beseitigung des ubelstandes der Degenerierung dieser Abschatzungen fur p ( z ) = Q + co konnte in [ 151, [18] durch die Einbeziehung von FREDHOLMschen Eigenwerten eines Kurvensystems erzielt werden.
Ein anderer Weg dahin fuhrt uber die Auswertung der modifizierten DntIcmETschen Integrale fur geeignete nicht triviale zulassige Funktionen, die mit gewissen schlicht konformen Nomnalabbildungen zusammenhangen. Die Wahl dieser geeigneten Ansatzfunktionen ist durch folgende Betrachtung motiviert. Setzt man nanilich in der Extrenialungleichung (10) p ( z ) --= Q konstant innerhalb des Kurvensystems C, so ist die