Epsilon 1. Primo corso di analisi matematica

✍ Scribed by Michiel Bertsch, Andrea Dall'Aglio, Lorenzo Giacomelli

• Publisher: McGraw-Hill Education
• Year: 2021
• Tongue: Italian
• Leaves: 450
• Category: Library

✦ Synopsis

Epsilon 1 offre una presentazione completa degli argomenti classici di un primo corso di Analisi Matematica nelle facoltà tecniche e scientifiche: funzioni e loro grafici, limiti, derivate e integrali di funzioni di una variabile reale, successioni e serie numeriche. Inoltre, accogliendo le esigenze dei vari ordinamenti didattici, contiene un’introduzione alle funzioni reali di più variabili reali e alle equazioni differenziali ordinarie. L’obiettivo generale è coniugare rigore metodologico con fruibilità e semplicità. La presentazione è graduale e dettagliata e non perde di vista le applicazioni teoriche e pratiche. Definizioni, enunciati e dimostrazioni sono accompagnati da numerosi esempi, figure, osservazioni ed esercizi di vari livelli e di difficoltà progressiva. Ciascuno di questi elementi è facilmente individuabile grazie a un'impostazione grafica modulare, che conferisce al testo una struttura particolarmente schematica e articolata. Dal punto di vista dei contenuti, le scelte più caratterizzanti del testo riguardano: un’esposizione simultanea di numeri, funzioni e loro grafici; una trattazione separata dei limiti di successioni (per facilitare l’assimilazione iniziale del concetto), che viene poi inquadrata nel contesto generale dei limiti di funzioni; una presentazione versatile dell’integrale di Riemann, introdotto subito anche come un limite. Ulteriori risorse sono disponibili sul sito web di McGraw-Hill Education, nella pagina dedicata al libro.

✦ Table of Contents

Epsilon 1
Indice breve
Indice
Prefazione
Ringraziamenti
Guida alla lettura
1 Numeri e funzioni
1.1 Richiami di notazioni e insiemistica
1.2 Insiemi numerici
1.3 I numeri reali
1.4 Estremo superiore ed estremo inferiore
1.4.1 Radici quadrate, radici 𝑛-esime
1.5 Funzioni
1.6 Funzioni reali di una variabile reale
1.6.1 Funzioni monotòne
1.6.2 Funzioni simmetriche
1.6.3 Funzioni limitate, estremi superiore e inferiore, massimo e minimo
1.7 Funzioni suriettive, iniettive, biiettive
1.8 Funzione inversa
1.9 Funzioni composte
1.10 Il valore assoluto
1.11 Potenze e radici
1.12 Esponenziali e logaritmi
1.13 Funzioni periodiche, funzioni trigonometriche e loro inverse
1.13.1 Funzioni trigonometriche inverse
1.14 Operando con funzioni e grafici
1.15 Metodo grafico per la risoluzione di equazioni e disequazioni
1.16 I numeri complessi
1.16.1 Definizione e proprietà
1.16.2 Rappresentazione polare di un numero complesso
1.16.3 Radici 𝑛-esime di un numero complesso
1.16.4 Il teorema fondamentale dell’algebra
1.17 Sommatorie
1.18 Principio di induzione
1.19 Elementi di combinatoria, coefficienti binomiali
2 Limiti di successioni
2.1 Richiami sulle successioni
2.2 Intorni
2.3 Proprietà verificate definitivamente
2.4 Limiti di successioni
2.4.1 Successioni convergenti
2.4.2 Successioni divergenti a +∞
2.4.3 Successioni divergenti a −∞
2.4.4 Successioni irregolari
2.5 Prime proprietà dei limiti
2.6 Algebra estesa dei limiti; forme indeterminate
2.7 Il simbolo 𝑜(1)
2.8 Primi metodi per forme indeterminate
2.9 Limiti di successioni monotòne
2.10 Il numero 𝑒
2.11 Confronto tra infiniti
2.12 Sottosuccessioni
2.13 Criterio di Cauchy
2.14 Successioni definite per ricorrenza
3 Serie numeriche
3.1 Definizione
3.2 Serie geometrica
3.3 Serie telescopiche
3.4 Proprietà elementari
3.5 Condizione necessaria per la convergenza
3.6 Serie a termini non negativi
3.6.1 Criteri del confronto
3.6.2 Criterio del rapporto, criterio della radice
3.7 Applicazioni agli sviluppi decimali
3.8 Serie a termini di segno variabile
3.8.1 Convergenza assoluta
3.8.2 Criteri del rapporto e della radice per serie di segno qualsiasi
3.8.3 Serie a termini di segno alterno; criterio di Leibniz
3.9 Serie di potenze
3.10 Esercizi di ricapitolazione
3.11 Approfondimenti
3.11.1 Criterio della condensazione
3.11.2 Criterio di Cauchy per le serie
3.11.3 Riordinamenti
3.11.4 Prodotto di Cauchy di due serie
4 Limiti di funzioni
4.1 Limite di funzione
4.2 Teorema ponte
4.3 Proprietà elementari dei limiti di funzioni
4.4 Limite di funzione composta
4.5 Limiti di funzioni elementari
4.6 Gerarchie di infiniti
4.7 Limiti notevoli
4.8 Simboli di Landau; confronto di infiniti/infinitesimi
4.9 Ordini di infinitesimo e infinito
5 Funzioni continue
5.1 Continuità: definizione e proprietà elementari
5.2 Punti di discontinuità
5.3 Teorema degli zeri
5.4 Continuità delle funzioni inverse
5.5 Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato
5.6 Asintoto orizzontale, obliquo, verticale
5.7 Funzioni lipschitziane
5.8 Funzioni uniformemente continue
6 Derivate
6.1 Derivata, retta tangente
6.2 Derivate elementari e algebra delle derivate
6.3 Regola della catena
6.4 Punti di non derivabilità
6.5 Calcolo delle derivate e studio della derivabilità
6.6 Derivata della funzione inversa
6.7 Estremi locali e derivate
6.8 Il teorema di Lagrange
6.9 Monotonia e derivata
6.10 Studio della monotonia e natura dei punti critici
6.11 Teorema di de l’Hôpital
6.12 Derivate successive
6.13 Funzioni convesse e concave
6.14 Studio di funzione
6.15 Funzioni iperboliche e loro inverse
6.16 Polinomio di Taylor
6.17 Applicazioni del teorema di Peano
6.17.1 Polinomio di Taylor e natura dei punti critici
6.17.2 Polinomio di Taylor e limiti
6.18 Applicazioni del calcolo differenziale alle serie
6.19 Approssimare funzioni con polinomi di Taylor
6.20 Serie di Taylor
6.21 Il metodo di Newton
6.22 Appendice: tabella delle derivate
7 Integrali
7.1 Definizione di integrale di Riemann
7.2 Interpretazioni dell’integrale
7.2.1 Integrale e area (con segno)
7.2.2 Altre interpretazioni dell’integrale e analisi dimensionale
7.3 Classi di funzioni integrabili
7.4 Proprietà dell’integrale
7.5 Funzioni integrali. Il primo teorema fondamentale del calcolo integrale .
7.6 Funzioni primitive e integrale indefinito
7.7 Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale
7.8 Integrazione per parti
7.9 Integrazione per sostituzione
7.10 Formule iterative di integrazione
7.11 Integrazione delle funzioni razionali
7.12 Alcune sostituzioni di base
7.13 Studio di funzioni integrali
7.14 Integrabilità in senso improprio
7.15 Criteri di confronto per integrali impropri
7.16 Assoluta integrabilità in senso improprio
7.17 Serie numeriche e integrali impropri
7.18 Cenni al calcolo di aree e volumi
8 Introduzione alle funzioni scalari di più variabili
8.1 Dominio (naturale), grafico
8.2 Lo spazio vettoriale ℝ𝑛
8.3 Intorni
8.4 Limiti e continuità
8.5 Insiemi aperti, chiusi, limitati; il teorema di Weierstrass
8.6 Derivate direzionali e parziali
8.7 Differenziabilità, miglior approssimazione lineare
8.8 Derivate seconde
8.9 Polinomio di Taylor del secondo ordine
8.10 Estremi liberi di funzioni a valori scalari
9 Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie (EDO)
9.1 Classificazione delle EDO
9.2 EDO lineari del primo ordine
9.2.1 Il caso omogeneo
9.2.2 Il caso non omogeneo
9.3 EDO lineari omogenee a coefficienti costanti .
9.3.1 ...del secondo ordine
9.3.2 ...di ordine 𝑛
9.4 EDO lineari non omogenee
9.4.1 Il metodo di somiglianza
9.5 Il problema di Cauchy per EDO lineari
9.6 Equazioni del primo ordine a variabili separabili
9.7 Classi particolari di EDO
9.7.1 Riduzione dell’ordine
9.7.2 Equazione di Eulero
9.7.3 EDO autonome del secondo ordine
Soluzioni
Indice analitico