l m Zusanimenhang niit den Quotientenringen fiihrte L. BUDACH [2] die Klttegorie der p-NoETHERschen Moduln ein (Definition 3.17 der vorliegenden Note), die ahnlich gute Eigenschaften hat wie die Kategorie der NoETHERschen Moduln. Unser Ziel ist der Beweis des folgenden Hauptresultats, daa u. a. einen genauen Einblick in die Struktur der p-NOETHERsChen Moduln gestattet ; Sei A ein NoETHERsCher Ring endlicher KRuL1,dimension und C eine dicke Unterkategorie der Kategorie aller A-Moduln, die keine unendlichen direkten Gummen von Null verschiedenen Moduln enthalt. Dann ist jeder Modul aus C eine Erweiterung eines NOETHERsChen Moduls mit einem ARTINschen.
In den ersten beiden Paragraphen der Arbeit haben wir einige im wesentlichen wohlbekannte Resultate iiber injektive und ARTmsrhe Moduln zusammengetjtellt und, wenn kein geeigneter Literaturhinweis existiert, bewiesen.
g 1. Injektive llfoduln
Ini folgendeii ist A ininier ein komniutativer NOETHERBCher Ring endlicher KEuLLdiniension. Wenn A lokal ist, bezeichnen wir mit m sein Maximalideal, mit k den Restklassenkorper A / m und mit A seine Komplettierung. Nicht notwendig NOETHERSChe, kommutative Ringe hezeichnen wir mit R oder 8.
Definition (1.1). Sei N cin R-Modul und M ein Untermodul von N . N heiflt eirre uresentliche Eriireiterung won M , wcnn f u r jeden von Null werschiedenen
Unternzodul N , won N , N , n M =I= 0. Definition und Satz (1.2). Zu jedem R-Modul M kann man einen injektiven R-Modul Q und eine Iujcktion M + Q finden, s&J Q eine wesentliche Erweiterung *) Die vorliegende Note ist Teil einer Dissertation, die der Autor an der Mathematisch-Neturwissenschaf tlichen Fakultat der Humboldt-Universitiit zu Berlin vorgelegt hat. Ich mochte die Gelegenheit benutzen, uni mich bei Herrn Prof. BUDACH fur seine Unteretutzung wiihrend meiner Arbeit zu bedanken. 240 Zink, Endlichkeitebedingungen fur Moduln von M ist. Q ist bis uuf einen nichtkanonischen Isomorphismim eindeutig brdimmt und hei,Pt die injektive Hiille uon M . R e w e i s. Siehe [6] Chapt. III 5 7 .
Satz (1.3). Sei {Ni}iEJ ein induktives Syslem von A -M o d u l n u n d &f einNOETHEK
eeher A-Modul. Der kanonische Homomorphismus lim Ext: ( M , N,) -+ Ext: ( M , lini N i ) * a i E J iet fur ulle n 2 0 ein Isomorphiemus.
Be w e i 8 . Wegen der axiomatisclien Chnrakterisierung des Funktors E x t und da lim exakt ist, genugt es, den Satz fur n = 0 zu beweisen. Nach einem bekannten Argument kann man M = A annehmen. I n diesem Fall ist die Rehnuptung trivial.
Korollar (1.4). W e n n N i fiir a l k i E J injektiv ist, so ist auch. lim N , injektit3.
Definition und Satz (1.6). Ein injektiver A-Modul
?Lei& irreduzibel, u7en.n er eine wesentliche Erweiterung von jedem seiner von Null verschiedmen Untermodula ist. Jeder injektire A-Modul l@t sich eindeutig in eine direkte S u m m e von irreduziblen injektiven A-Moduln zerlegen. d i E J Satz (1.6). Die einzigen irreduziblen injektiven A-Moduln sind die injektiven Hullen Z ( p ) der Restklassenkorper k(p), wo p E Spec A . I ( p ) ist uuf nnturliche Weise ein A,-iModul iind Vereinigung der Untermoduln M,, = ( 0 : $I")~~~, . M,t + fjM,, ist ein endlich.dimensionaler k ( p ) -Vektorraum, u n d es gilt >l 1 91 + 1 dim,(p, M?l+,'Z,i = dim,(,, ( P ! P @ A k W ) . B e w e i s v o n (1.5), (1.6). Siehe [7]. Bemerkung (1.7'). Sei &I ein R-Modul und Q einTdeal von H. DieVereinigung der Untermoduln (0: a"), bezeichnen wir im weiteren mit (0: (a))*f. Offenbar hat man einen kanonischen Isomorphismus lim Horn, (R,!an, M ) r (0: ( ~1 ) ~.