In der vorliegenden Arbeit betrachten wir die Funktionalgleichungen (1) f[a(x)l = 44.m (2) und g[a(x)lg ( 4 = fP(x).
Dabei sind f ( x ) und g(x) unbekannte und a ( x ) , a(x), p(x) gegebene Funktionen. (Alle diese Funktionen sind reelle Funktionen einer reellen Veranderlichen.) Wir werden einige erganzende Bemerkungen zur Theorie der monotonen und konvexen Losungen der Gleichungen (1) und (2) angeben. Insbesondere verallgemeinern die bewiesenen Satze einige Aussagen, die die EUmRsche Gammafunktion mit Hilfe der Funktionalgleichung (3) die ein Sonderfall von (1) ist, charakterisieren (s. 3 4 unten). Konvex bedeutet hier von oben oder von unten Iconvex. Eine Funktion F (x) heil3e von oben konvex in einem Interval1 I, falls fur beliebige xl, x2 E I und il f(x + 1) = x f ( 4 , (0, 1) stets die Ungleichung
gilt (vgl. z. B. [13]). 1st -F ( x ) von oben konvex, so sol1 F ( x ) von unten konvex heil3en. Monoton bedeutet wachsend oder abnehmend. Eine Punktion F (x) heil3t in1 Intervall I wnchsend, falls fur beliebige xi, x2 E I aus der Ungleichung x1 < x2 stets die Ungleichung F ( x , ) 5 F(x,) folgt. Hat die Ungleichung xi < x2 stets die Ungleichung F(xl) < S ( x , ) zur Folge, so heil3t F ( x ) streng monoton wachsend in I . 1st -F ( x ) in I wachsend, so heil3t F ( x ) in I abnehmend. Alle unsere Betrachtungen werden sich auf eiii Intervall (a, b ) beziehen.
Die Moglichkeiteii a = -0 0 oder b = + 00 werden auch zugelassen.