Die vorliegende Arbeit hat folgendes Ziel: Es hat sich fiir manche &ageatellungen a-1s sinnvoll erwiesen, eine Art Geometrisierung der Kategorien und Gruppoide vorzunehmen. Zu diesem Zweck werden den Kategorien und Gruppoiden geeignet definierte Graphen zugeordnet . Die anschlieaenden Untersuchungen uber die Struktur von Kategorien und Gruppoiden uber solchen Graphen sind algebraischer Natur, wurden jedooh in Art und Richtung von geometrischen Fragestellungen bestimmt. Die Anregung zu diesen Untersuchungen und zahlreiche wertvolle Ratschliige bei ihrer Durchfiihrung verdanke ich C. EHRESMANN. Ober einen Ted der Ergebnisse habe ich bei Vortriigen in Oberwolfach, Delft, Paris, Halle und Budapest berichtet l).
Die Arbeit gliedert sich in drei Abschnitte. Im ersten Abschnitt werden die Begriffe der Kategorie, des Gruppoids und des Punktors in der Definition, wie sie von EHRESMANN [ 13 gegeben wurde, zusammengestellt. Im weiteren werden einige Beispiele fur Kategorien und Gruppoide angefuhrt. Im zweiten Abschnitt werden die Begriffe der Faktorkategorie, abstrakter und konkreter Graphen, der freien Kategorie und des freien Gruppoids definiert .
Der dritte Abschnitt enthdt eine Reihe von Lehrsiitzen uber Kategorien und Gruppoide, die eine Verallgemeinerung bekannter Lehrsatze aus der Theorie der Gruppen darstellen.
I.
Wir beginnen mit der Definition der Kategorie. Eine Kategorie ist eine Klasse C VOIA Elementen, in der fur gewisse Paare (f, g) von Elementen von C eine Multiplikationsvorschrift gegeben ist : ( f , 8) --f f g mit folgenden Eigenschaften:
- Wenn (f g) h oder f ( g h) definiert ist, so sind heide Elemente definiert, 2. Wenn f g und , Q h definiert sind, so ist auch (f g ) h definiert; und es gilt: ( f g ) h = f ( g h ) ;