Eine Charakterisierung p-quasikompakter Räume

✍ Scribed by Harry Poppe

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1965
• Tongue: English
• Weight: 366 KB
• Volume: 29
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19650290310

✦ Synopsis

m sei eine beliebige Kardinalzahl. Eine MOORE-SmH-Folge (xi)iel in einer Alenge S heifit m-li'olge, wenn 1 1 1 5 m gilt. GLICKSBERC [4] bzw. ISEKI [6] charakterisierten die Pseudokompaktheit eines vollsthdig regularen Raumes X durch die Giiltigkeit des Satzes von DINI bzw. des Satzes von ARZELA fiir FRECHET-Folgen in c (x). Analog erhielten HELBX-BERG [5] bzw. der Verfasser [7] Charakterisierungen der Kompaktheit von X durch die Giiltigkeit des Satzes von DINI bzw. des Satzes von ARZELA fiir beliebige ~~OORE-SMITH-FOlgen in C (X). Man kann nun danach fragen, welche Eigenschaft (vollstandig regularer Raume) durch die beiden Satze charakterisiert wird, wenn man sich auf m-Folgen in C (X) beschriakt. Die naheliegende Vermutung, daI3 dies die m-Kompaktheit ist, bestatigt sich nicht ; vielmehr erhlilt man eine Kennzeichnung der m-quasikompakten Raume. (Wir bezeichnen mit FROLIK [a] einen topologischen Raum X als m-quasikompakt, wenn j ede offene tfberdeckung , deren Machtigkeit 5 m ist nnd die aus Mengen der Form {z : f (2) =+ 0 ) mit f f C (X) besteht, eine endliche Teiliiberdeckung besitzt.) JVir benotigen zuniichst ein einfaches Lemma sowie ein Ergebnis von TUKEY ([8], S. 14). (1) Lemma: X sei ein topologiseher Raum, und es sei E > 0. Folgende Amsugen sind aquivalent : (a) X is€ m-quasikompakt. (b) Jede Oberdeckung dureh Hengen der Form {z : If (2) I < E } , f E C ( X ) besitzt eine endliche Teiltlberdeckung. Beweis: Es gilt (z: I f ( z ) ] < ~] = { x : m a x { ~-I f l , O>(z)+O>, mobei 0 die Nullfunktion bezeichnet; ist f E C (X), so ist auch max ( E -I f 1, O } f C ( X ) .