Sei K eine Laguerre-bzw. Minkowski-Ebene 1 der Ordnung 2 n, n ungerade oder n=2 oder n=4. Induziert ein Punkt aus K eine desarguessche affine Ebene ~, dann ist K die Laguerre-bzw. Minkowski-Ebene iiber dem K6rper ~ GF(n). Hieraus hat man unmittelbar das KOROLLAR. Die Laguerre-und Minkowski-Ebenen der Ordnung n mit n <<, 7 sind his auf lsomorphie eindeutig bestimmt. Wir bemerken noch, daft es jedenfalls nicht-isomorphe Moebius-und Laguerre-Ebenen der Ordnung 8 gibt; fiir die Moebiusebene siehe z.B. Dembowski [4], und da es in einer projektiven Ebene der Ordnung 80vale gibt, die keine Kegelschnitte sind, gibt es nach [7] auch nicht isomorphe Laguerre-Ebenen der Ordnung 8. Eine Moebiusebene der Ordnung n mit n <<, 5 ist ebenfalls bis auf lsomorphie eindeutig bestimmt, dazu siehe fiir n<<. 4 Witt [8] und fiir n=5 Chen [3]. Wir wissen nicht, ob dies auch fiir n = 7 gilt und ob es nicht isomorphe Minkowski-Ebenen der Ordnung 8 gibt.
Beweis. Sei P ein Punkt, der eine desarguessche affine Ebene A induziert; der dieser Ebene zugrunde liegende K~Srper ist ~ = GF(n). Wegen [7] bzw. [1], [5] zeigen wir die Isomorphie yon K zum Parabel-Modell der Laguerre-Ebene fiber K bzw. zum Hyperbel-Model! der Minkowski-Ebene iiber S. Sei B der projektive AbschluB der affinen Ebene A, u die uneigentliche Gerade und Q und R die uneigentlichen Punkte auf den Nebengeraden (Q=R~K Laguerre-Ebene). Einen Kreis k aus K nennen wit nach v.d. Waerden und Staid [7] einen Hauptkreis, wenn P nicht auf k liegt. FSr einen Hauptkreis k sei/~ die Menge der zu P nicht parallelen Punkte auf k vereinigt mit {Q, R}. FSr zwei Hauptkreise h und k ist h=k genau dann, wenn h =/~ ist. Es geniigt nun zu zeigen: 1 Zur Definition der Laguerre-Ebene siehe v.d.Waerden und Staid [7] (dort Laguerregeometrie genannt); zur Definition der Minkowski-Ebene siehe Kaerlein [5]. 2 K heist yon der Ordnung n, wenn es einen Kreis aus K mit genau n + 1 Punkten gibt. 3 Hierzu siehe Benz, Mfiurer [2] und v.d. Waerden und Smid [7] bzw. Benz [1] und Kaerlein [5].