✍ Scribed by Walter Heinz
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Betraclitet wird das Nullstellenverhalten beliebiger Polynome in der komplexen Variablen z und der konjugiert kornplexen Variablen z*. Es sei darauf hingewiesen, daB nicht notwendig alle Nullstellen eines Polynoms in z und z* isoliert liegen miissen. AuBer dem Fall, daB keine Nullstellen auftreten wie z. B. bei zz* + 1, kann auch der Fall eintreten, daB ein Polynom alle Puiikte einer Kurve in der z-Ebene als Nullstellen besitzt, z. B. sind a110 Punkte der imaginaren Achse Nullstellen des Polynoms P(z, z*) = z + z*. Das angegebene Verfahren besteht im wesentlichen darin, mittels eines EuKLIDischen Algorithmus die Bestimmung der isolierten Nullstellen eines Polynoms in z und z* auf die Bestimmung der Nullstellen eines oder melirerer Polpnome in z zuruckzufiihren. Dabei erweist es sich als sinnvoll, die Menge der Polynome in z und z* in zwei disjunkte Klassen aufzuspalten, in die Klasse der gewohnlichen und die der quasireellen Polpnorne, und zwar sollen alle Polynome quasireelle Polynome genannt werden, fur die ein ltonstantes c so esistiert, daB P(z, z*) = c(P(z, z*))* gilt. 2 ) Alle anderen Polynorne heiflen gewohnliche Polynoine. Fur zwei Polynome in z und z* l8Bt sich zuniichst zeigen, daB beide in der z-Ebene genau dann den gleichen Werteverlauf haben, wenn bei ihnen die entq'rechenden Koeffizienten iibereinst imnien. Dainit 18Bt sich beweisen, daB jedes Polynom in z und z* eine (bis auf die Reihenfolge und bis auf konstante Faktoren) eindeutige Primfaktorzerlegung besitzt. Weiter 1813t sich fur zwei gegebene Polynome G(z, z*) und H&, z"), wenn niitn diese als Polpnome in z* auffaBt, deren Koeffizienten Polynome in z sind, ein EuKLIDischer Algorithmus angeben : . .. 1) Der Diplomarbeit des Verfassers (Sektion Mathenlatik der Martin-Luther-Universitat 2) Durch Betragbildung sieht man sofort, daI3 stets Jc/ = 1 sein muD. Setzt man c = e-'i'?', Halle) entnommen. so ist ei9 P(z, z*) = ( e -i a P ( z , .*I)*, also nimmt e'qP(z, z*) nur reelie Werte an.
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