Differentiationsalgebren fur Distributionen
Von LOTHAR BERG in Rostock (Eingegangen am 3. 10. 1979) Um einen Beitrag zur Losung des Problems der Multiplikation von Distributionen zu leisten, wurden in [ 11 assoziative Differentiationsalgebren mit einem idempotenten Element h betrachtet, dessen Ableitung 6 =h' nicht das Nullelement ist, d. h. h2=R, 6 + 0 . Da die HEAvISIDEsche Sprungfunktion h(t) ein Beispiel fur ein solches Element ist, wurden diese Algebren in [2] Distributionenalgebren genannt. In [l] und [2] wurde weiterhin gefordert, da13 diese Algebren auch ein Element t , mit den Eigenschaften t+ =t+h=ht+ , t; = h enthalten, das der Splinefunktion th(t) entspricht. Beim weiteren Ausbau der Theorie ergaben sich aber besonders in [3] und [6] Schwierigkeiten, die der gewiinschten Interpretation von t + und 73 als klassische Funktionen sowie von 6 als DIRAc-Distribution im Wege stehen. Aus diesem Grunde wurden bereits in [4] Distributionenalgebren eingefuhrt, in denen auf die Forderung t + =ht + verzichtet wurde, wobei man sich das Element t , -ht, wie in der Nichtstandard-Analysis (vgl. D. LAUGWITZ [I 11) als infinitesimal vorstellen kann.
Nachdem eine gewohnte Relation aufgegeben wurde, entsteht die Frage, ob man sich nicht noch von weiteren Relationen trennen muB. So untersucllt V. K. IVANOV [lo] eine Differentiationsalgebra, in der h2+h ist, allerdings verschwinden dort alle Produkte 6(")6("). I m folgenden werden analoge Differentiationsalgebren konstruiert, in denen jedoch die soeben angef fihrten Produkte nicht verschwinden. Dabei sol1 keine fertigc Theorie, sondern nur eine neue Moglichkeit zur Multiplikation yon gewissen Distributionen vorgestellt werden.