In seinem Buch Geometrie der Lage [13] zeigte G.K.Ch. v. Staudt 1847, dab in der reellen projektiven Ebene die Gruppe der Projektivit~iten einer Geraden auf sich scharf dreifach transitiv operiert. Dieses Ergebnis konnte G. Hessenberg 1905 verscharfen, indem er auf Ergebnissen von H. Wiener und F. Schur aufbauend bewies, dab fiJr jede projektive Ebene (E, ~) die Gruppe der Projektivit~iten einer Geraden auf sich genau dann scharf dreifach transitiv operiert, wenn (E, ~) pappussch ist [10,11].
Um einen analogen Satz fiir Benz-Ebenen aussprechen zu k6nnen, ben6tigen wir zun/ichst einige Definitionen. Es sei (P, R) eine Benz-Ebene (d.i. eine M6bius-, Laguerre-oder Minkowski-Ebene [2]) ~ mit der Punktmenge P und der Kreismenge ~. Die Menge der Erzeugenden sei ~ = U~z ~ mit III ~< 2 und ~ n ®j = ~ fiir i, j E I mit i ~ j. Fiir i ~ Iund p e P bezeichne [p]~ die Erzeugende aus ~, die p enth/ilt, und es sei [p] := U~I [p]~ w {p}. Fiir A, B ~ R und a ~ A\B sowie b e B\A mit b ¢ [a] heiBt die Bijektion ~: b, falls x ~ [b] und [(abx) n B[ = 1, 2 x --~ (abx) n B{b), falls x ¢ [b] und [(abx) n B] = 2, I.[a]j n B, falls x ~ [b]~ mit {i, j} = I Perspektivitiit mit dem Zentrum (a, b). Fiir A, B ~ ~ und a e A n B heiBt jede Abbildung ~r: A --> B mit 7r(a) = a, deren Restriktion auf A{a} eine Parallelperspektivit/it in der affinen Ebene A(a) := (P[a], ~ u U~I ~)a ist, Beri~hrtransformation mit dem Grundpunkt a. Jede Abbildung ~-: A ~ B eines Kreises A auf einen Kreis B, fiir die es Perspektivit/iten und Beriihrtransformationen ~rl,..., 7r~ bzw. Perspektivit/iten • r~,..., ~r~ mit ~r = ~rl ..... ~r~ gibt, heiBt Projektivitiit bzw. eigentliche Projektivitfit. Fiir A e ~ bezeichne F bzw. I'e die Gruppe der Projektivit/iten bzw. eigentlichen Projektivit/iten yon A auf sich. Fiir das Minimalmodell der Minkowski-Ebene gilt [I'~[ = 1. In allen anderen Zur Definition vgl. [9]. 2 FOr je drei verschiedene verbindbare Punkte a, b, c bezeichne (abe) den Verbindungskreis yon a, b, c. Ffir x = a bedeute (abx) hier zus~itzlich den Kreis durch b, der A in a beriJhrt.