Eingegangen am 21. 3. 1974)
1. Einleitung
Wir beginnen mit der Einfuhrung des Kompositionsoperators, der haufig bei der Untersuchung von Operatorengleichungen eine Rolle spielt.
Sei [a, b] ein abgeschlossenes Interval1 in der Menge der relleri Zahlen 12'. Ein auf [a, b] X R1 definiertes Funktional f(t, x) wird CARATHBODORY-Funktional genannt, wenn es folgende zwei Eigenschaften besitzt : Fur jedes x ist f(f, x) eine mefibare Funktion in t , und fur fast alle t ist f(t, T) stetig in x. Durch die Formel (1.1) f W = f(4 4 2 ) ) wird ein Operator f erzeugt, der die Menge der auf [a, b ] definierten reellen Funktionen z(t) in sich uberfiihrt. f wird Kompositionsoperator genannt. Den Eigenschaften dieses Operators ist eine ganze Reihe von Arbeiten gewidmet. Eine systematische Darstellung der Ergebnisse findet man in der Monographie [l], in der auch eine urnfangreiche Literaturubersicht enthalten ist. In [2] wurde der Kompositionsoperator untersucht, der durch ein CARATHEODORY-Funktional auf [a, b] x X erzeugt wird, wobei als X gewisse lokal-konvexe Raume, insbesondere BANACH-Raume mit Basis, zugelassen sind. Die vorliegende Arbeit befafit sich mit der Stetigkeit des Kompositionsoperators in Raumen abstrakter Funktionen, der durch einen Operator f(t, x) : [a, b] X X -I ' erzeugt wird, wobei x und Y beliebige BANACH-Raume sind. Ein entsprechendes Ergebnis fur eine andere Klasse von Raumen enthalt [3].
2. Definitionen
Wir betrachten (abstrakte) Funkhnen, die auf einer im LEBEsGuEschen Sinne mefibaren Menge E c [a, b] definiert sind und deren Werte in einem BANACH-Raum X mit der Norm I! -/ I x liegen. Eine Funktion heiBt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte xi, . . , , x, annimmt und die Urbilder f-i(xi) meBbare Teilmengen von I3 sind. Eine Funktion z(t) heil3t mefibar, wenn es eine Polge einfacher Funktionen gibt, die fast uberall gegen x(t) konvergiert.