Cálculo Avançado

✍ Scribed by Rolci Cipolatti

• Publisher: SBM
• Year: 2018
• Tongue: Portuguese
• Leaves: 341
• Series: Textos Universitários
• Category: Library

✦ Synopsis

Este livro tem o desejo de ser livro texto de Análise no Rn em disciplinas de final do bacharelado em matemática ou início de mestrado. Tem como objetivo apresentar os conceitos de diferencial e integral, seus principais resultados e algumas aplicações importantes. Embora o universo seja o Rn , os resultados que podem se estender a espaços de dimensão infinita são apontados para alertar o estudante sobre o maravilhoso mundo da Ánalise Funcional. Os capítulos 5 a 10 são os que abordam a diferencial em Rn (ou isomorfos) e o capítulo 11, já com a dimensão no infinito, a diferencial no espaço das funções contínuas. A construção da Integral de Riemann em Rn e os principais teoremas estão nos capítulos 12 e 13. Cada capítulo termina com uma lista de exercícios, cujas soluções podem ser obtidas na página do autor. Por fim, um breve apêndice contendo coisas básicas de Álgebra Multilinear, só para justificar os meios.

✦ Table of Contents

Sumário

1 Conjuntos e Funções ......................... 1
1.1 Operações com conjuntos ................... 1
1.1.1 União e interseção ...................... 2
1.1.2 Díferença e complementar ................ 3
1.1.3 Produto cartesiano ...................... 3
1.2 Funções ................................... 4
1.3 Composíção de funções ..................... 6
1.4 Sequências..............................6
1.5 Exercícios..............................7

2 Métricas e Normas ........................... 11
2.1 Espaços Vetoriais com produto interno ...... 13
2.2 Normas em Rn ...........................14
2.3 Exemplos de espaço vetoríal normado ...... 17
2.4 Exercícíos ................................19

3 Abertos, Fechados, Compactos ............... 23
3.1 Conjuntos compactos .......................25
3.2 Compactos de Rn ...........................28
3.3 Sequêncías em espaços Vetoriais .......... 31
3.4SequênciasdeCauchy ........................ 33
3.5 Sequências em Rn ......................... 34
3.6 Exercícios ............................... 35

SUMÁRIO

4 Limite e Continuidade ....................... 37
4.1 Funções contínuas ......................... 39
4.1.1 Funções Contínuas e Conjuntos compactos . 42
4.1.2 Funções Contínuas e conjuntos conexos ... 44
4.1.3 Conjuntos convexos e funções convexas ... 45
4.2 Continuidade uniforme ..................... 47
4.3 Espaços Vetoriais de dimensão finita ...... 49
4.3.1 O espaço vetorial das transformações lineares .. 50
4.3.2 O teorema do ponto ñxo de Banach ....... 50
4.4 Semicontinuidade.......................... 52
4.5 Exercícios 56

5 Funções Diferenciáveis .................... 65
5.1 Funções diferenciáveis: o caso escalar .. 66
5.1.1 0 vetor gradiente .....................70
5.1.2 Regras básicas de derivação ........... 71
5.1.3 Condições suficientes para a diferenciabilidade . . . . . . 72
5.2 Funções diferenciáveis: 0 caso vetoria1. . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.1 A matriz jacobiana ...................... 76
5.2.2 A regra da cadeia ....................... 77
5.2.3 O teorema do valor médio ................ 78
5.2.4 Derivadas parciais: o caso Vetorial ..... 79
5.2.5 A diferencial: funções de classe C1 ..... 80
5.3 Funções diferenciáveis: ocaso geral ....... 82
5.3.1 A projeção ortogonal é uma derivada ..... 86
5.4 Exercícios 87

6 Curvas em Rn ..................................... 93
6.1 Curvas retifícáveis ............................ 95
6.1.1 Curvas diferenciáveis ........................ 96
6.2 Integral de linhas: O caso escalar ............. 98
6.2.1 Aplícação: a Transformada Raios X ............ 98
6.2.2 Funções radiais ............................. 100
6.2.3 O problema inverso .......................... 101
6.3 O teorema fundamentaldo cálculo ............... 102
6.3.1 Aplicação: conservaçào da energia ........... 109
6.4 Exercícios .................................... 109

7 Derivadas de Segunda Ordem ...................... 113
7.1 Máximos e mínimos ............................... 118
7.2 Partição da unidade ............................. 124
7.3 Exercícios .................................... 128

8 O Teorema da Função Inversa 133
8.1 O teorema da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
8.1.1 Aplicação: o método das características . . . . . . . . .140
8.2 Oteorema da função inversa (bís) . . . . . . . . . . . . . . . . .142
8.3 Exercícios 145

9 O Teorema da Função Implícita 149
9.1 O teorema da função implícita ..................... 152
9.2 Multiplícadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
9.2.1 Aplicações..........................155
9.3 Multiplicadores de Lagrange (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . .158
9.4 Exercícios 160

10 Sequências de Funções 165
10.1 Convergência uniforme ..................................... 167
10.1.1 Convergência uniforme e derivadas ....................... 172
10.1.2 Séries de funções e convergência uniforme ............... 175
10.1.3 O teorema de extensão de Tietze . . . . . . . . . . . . . 176
10.1.4 Séries de potêncías .................... 179
10.1.5 A matriz exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
10.2 Exercícios 183

11 O Espaço das Funções Contínuas 187
11.0.1 Aplicação: oteorema de Picard ....................... 188
11.1 OteoremadeArzelà-Ascolí ............................... 190
11.1.1 Aplicaçãoz oteorema de Cauchy-Peano ................. 195
11.2 O teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . .198
11.3 Funcionais contínuos e diferencíáveis . . . . . . . . . . . . . . .204
11.3.1 Aplicação: Fluxos ................................... 205
11.3.2 O Teorema da função inversa de Hadamard . . . . . . .209
11.4 Exercícios 213

12 A integral de Riemann 219
12.1 Áreas,volumes etc..........................219
12.2 A integral de Riemann.......................225
12.3 Como calcular integrais? ............................... 238
12.4 Funções de Conjunto e derivadas espaciais .............. 243
12.5 Mudançadevariáveis ....................... 248
12.6 Coordenadas esféricas em Rn e aplicações. . . . . . . . . . . . .255
12.6.1 Aplicação: o conteúdo da bola de raio R em Rn . . . . .257
12.6.2 Aplicação: íntegrais com domínios variáveís . . . . . . .259
12.6.3 Aplicação: a equação da conservação da massa. . . . . .263
12.7 Exercícios 264

13 Gauss, Green, Stokes... 271
13.1 Hipersuperfícies de Rn ................................. 271
13.1.1 Hipersuperfícies Orientáveis. ........................ 274
13.1.2 Hipersuperfícies de classe C1 ........................ 277
13.2 Integrais de hipersuperfície em Rn ..................... 279
13.3 O teorema de Gauss e aplicações ........................ 283
13.3.1 O teorema de Gauss ................................... 286
13.3.2 Aplicação: as equações dos ñuidos perfeitos .......... 293
13.3.3 Aplicação: funções harmônícas e o teorema da médía ... 296
13.3.4 O teorema de Stokes .................................. 298
13.4 Operadores diferenciais: uma questão de notação ........ 302
13.5 Campos vetoriais da física matemática .................. 306
13.5.1 Integrais singulares.....................306
13.5.2 Campos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311
13.5.3 Campos de Biot e Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . .319
13.5.4 Campos harmônicos ............ . . . . . . . .321
13.6 Formas díferenciais; uma breve introdução . . . . . . . . . . . .323
13.6.1 O lema de Hadamard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330
13.7 Exercícíos 336

Apêndice
A Determinantes, traços etc ................................... 343
A.1 Formas n-lineares alternadas ............................ 343
A.1.1 O determinante.......................345
A.1.2 O determinante da matriz em blocos . . . . . . . . . . .350
A.1.3 O traço 352
A.2 O produto tensorial.........................354
A.2.1 O produto exterior 356
Referências 361
Índice Remissivo 363

✦ Subjects

Cálculo Avançado, Análise Matemática