Cálculo Avançado

✍ Scribed by Wilfred Kaplan

• Publisher: Edgard Blucher
• Year: 1972
• Tongue: Portuguese
• Leaves: 355
• Edition: 1
• Category: Library

✦ Synopsis

Este livro foi planejado de modo a fornecer material suficiente para um curso de cálculo avançado de até um ano de duração.

Pressupõem-se os conhecimentos usualmente obtidos em cursos básicos de álgebra, geometria analítica e cálculo. O capítulo introdutório fornece uma revisão sucinta desses assuntos; serve também como lista de referência de definições e fórmulas básicas.

O conteúdo do livro compreende todos os tópicos habitualmente encontrados em textos de cálculo avançado. No entanto há uma ênfase maior do que é usual nas aplicações e na motivação física. Vetores são introduzidos desde o início e servem em muitas partes para indicar o significado geométrico e físico intrínseco das relações matemáticas. Métodos numéricos de integração e resolução de equações diferenciais são ressaltados, tanto pelo seu valor prático quanto pela compreensão que proporcionam do processo de limite.

Um alto nível de rigor é mantido sempre. As definições são claramente indicadas como tais e todos os resultados importantes são enunciados como teoremas. Alguns pontos mais delicados referentes ao sistema dos números reais (o Teorema Heine-Borel, o Teorema de Weierstrass-Bolzano, e conceitos relacionados) são omitidos. Os teoremas cujas demonstrações se baseiam nesses instrumentos são enunciados sem prova, com referências a tratados mais avançados. Um professor mais competente pode facilmente preencher essas lacunas, se o desejar, e assim apresentar um curso completo em análise real.

Um grande número de problemas, com respostas, aparece distribuído pelo texto. Há exercícios simples do tipo "treino" e outros mais elaborados cuja finalidade é estimular a leitura crítica. Algumas partes mais delicadas da teoria são relegadas aos problemas, com sugestões dadas quando convém. São feitas numerosas referências à literatura e cada capítulo termina com uma lista de livros para leitura suplementar

✦ Table of Contents

ÍNDICE

Introdução. REVISÃO DE ÁLGEBRA, GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO
0-01. 0sistemadosnúmerosreais......................... 1
0-02. O sistema dos números complexos . . .. .. 2
0-03. A álgebra dos números reais e dos números complexos . . .. 4
0-04. Geometria analítica no plana........................ 8
0-05. Geometria analítica no espaço...................... IO
0-06. Funções, limites, continuidade ........................ 14
0-07. As funções transcendentes elementares .................. 16
0-08. Cálculo diferencial.................................. 19
0-09. Cálculo integral.................................... 24

Capitulo 1. VETORES
1-01. Introdução.......................................... 37
1-02. Definições básicas.................................... 38
1-03. Adição e subtração de vetores........................ 39
1-04. Comprimento de um vetor............................ 42
1-05. Produto de um vetor por um escalar.................. 42
1-06. Aplicações de vetores a teoremas da geometria........... 44
1-07. Produto escalar de dois vetores........................ 46
1-08. Vetores de base.................................... 48
1-09. Vetor unitários, cossenos diretores, números diretores.. 50
1-10. Orientação no espaço................................ 53
1-11. 0 produto vetorial.................................. 54
1-12. O produto triplo acasalar............................ 57
1-13. Os produtos triplos vetoriais.......................... 60
1-14. Identidades vetoriais.................................. 60
1-15. Funções vetoriais de uma variável...................... 62
1-16. Derivada de uma função vetorial o vetor velocidade . . . . 63
1-17. Propriedades da derivada. Derivadas superiores 66
1-18. Vetores na mecânica................................ 73

Capítulo 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2-01. Funções de várias variáveis.......................... 82
2-02. Domínios e regiões.................................. 82
2-03. Notações para funções. Curvas de nível e superfícies de nível........ 84
2-04. Limites e continuidade.............................. 86
2-05. Derivadas parciais.................................. 91
2-06. Diferencial total Lema fundamental .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2-07. Derivadas- e diferenciais de funções compostas . . . . . . .. 97
2-08. Funções implícitas. Funções inversas. Jacobianos 102
2-09. Aplicações geométricas.............................. 114
2-10. A derivada direcional...... 121
2-11. Derivadas parciais de ordem superior.................. 127
2-12. Derivadas superiores de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . 129
2-13. O Laplaciano em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas 131
2-14. Derivadas superiores de funções implícitas . . . . . . . . . . . . .. 133
2-15. Máximos e mínimos de funções de várias variáveis...... 136
2-16. Máximos e mínimos de funções com condições suplementares. Multiplicadores de Lagrange.............. 144
2-17. Dependência funcional................................ 148
2-18. Derivadas e diferenças................................ 153

Capitulo 3. CÁLCULO DIFERENCIAL VETORIAL
3-01. Introdução.......................................... 158
3-02. Campos vetoriais e campos escalares . . . . .. .. .. .. .. . . . . 159
3-03. 0campogradiente.................................. 160
3-04. A divergência de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. -163
3-05. O rotacional de um campo vetorial.................... 164
3-06. Combinações de operações............................ 165
3-07. Coordenadas curvilíneas no espaço. Coordenadas ortogonais 170
3-08. Operações vetoriais em coordenadas curvilíneas ortogonais 173
3-09. Geometria analítica e vetores num espaço a mais de 3 dimensões 181

Capítulo 4. CÁLCULO INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
4-01. Introdução 189
4-02. Cálculo numérico de integrais definidas . . 189
4-03. Cálculo numérico de integrais indefinidas. Integrais elípticas 198
4-04. Integrais impróprias...............................'... 205
4-05. Critérios de convergência de integrais impróprias. Cálculos numéricos................ 209
4-06. Integrais duplas............,......................... 215
4-07. Integrais triplas c integrais múltiplas em geral 221
4-08. Mudança de variáveis em integrais . . .. 224
4-09. Comprimento de arco e área de superfície . . . . . . . . . . . . . . 232
4-10. Cálculo numérico de integrais múltiplas 238
4-11. Integrais múltiplas impróprias .. .. . . .. .. . . .. 241
4-12. Integrais dependendo de um parâmetro - Regra de Leibnitz 246

Capitulo 5. CÁLCULO INTEGRAL VETORIAL
Parte I - A teoria em duas dimensões.................. 252
5-01. Introdução.......................................... 252
5-02. Integrais curvilíneas no plano .................... 255
5-03. Integrais com relação ao comprimento de arco. Propriedades fundamentais das integrais curvilíneas 261
5-04. Integrais curvilíneas vistas como integrais de vetores. . .. 265
5-05. Teorema de Green 268
5-06. Independência do caminho. Dominios simplesmente conexos 273
5-07. Extensão dos resultados para domínios multiplamente conexos 282
Parte II - A teoria em três dimensões e aplicações . . . . 290
5-08. Integrais curvilíneas no espaço........................ 290
5-09. Superficies no espaço. Orientabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . .. 291
5-10. Integrais de superfície................................ 294
5-11. O teorema da divergência...... 302
5-12. 0 teorema de Stokes........ 309
5-13. Integrais independentes do caminha Campos irrotacionais e campos solenoidais........................... 314
5-14. Mudança de variáveis em integrais múltiplas . . . . . . . . .. . . 320
5-15. Aplicações físicas.... 328

✦ Subjects

Cálculo avançado, Métodos matemáticos