Charakterisierung der Laplace-Transformation durch ihr Differentiationsgesetz

✍ Scribed by Gustav Doetsch

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1951
• Tongue: English
• Weight: 637 KB
• Volume: 5
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19510050306

✦ Synopsis

Von GUSTAV DOETSCH in Freiburg i. Br. (Eingegmgen am 2. 1. 1951.) Q 1. Vorbereitende Betraehtungen. Unter den Anwendungen der Laplace-Transformation1) m 2 {PI = [e-at P (t) dt = f (8) 0 (im folgenden kurz 2-Transformation genannt) nimmt heutzutage die Integration von gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen den weitaus breitesten Raum ein. Sie beruht in erster Linie auf dem ,,Differentiationsgesetz f u r die Originalfunktion"2): Die fur t 2 0 definierte Funktion P(t) sei in idem endlichen Intentall absolut stetig, so dap Ff (t) fast iiberall existiert und F(t) = F(0) + p ( t ) d t ist. Wenn 2 { F f } fur ein kompbxes s mit '8s > 0 existiert, so existiert auch 2{F) 'fur den Wert s, und m iet 2 { F f ) = s!i.!{F) -F ( 0 ) . Fur 8 s 5 0 ist dime Beziehung im allgemeinen nicht richtig3). Angesichts der weittragenden Anwendungen dieses Gesetzes ist in der Literatur wiederholt die Frage aufgeworfen worden, ob die 2-Transformation die einzige Funktionaltransformation S { F } = f ist mit der Eigenschaft, daB aus der Existenz von S { F f } fur ein 8 mit %e > 0 die Relation t 0 (1) S { F f ) = 8Z{B') -F ( 0 ) folgtmit anderen Worten ob das Differentiationsgesetz fur die !&Transformation charakteristisch ist -, ohne daB eine befriedigende Antwort gegeberi ~ l) Zum folgenden siehe G.