Charakterisierung der durch einfach konvergente Laplace-Integrale darstellbaren Funktionen
✍ Scribed by Ricardo San Juan Llosá
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1954
- Tongue
- English
- Weight
- 241 KB
- Volume
- 12
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Die folgenden beiden Satze geben Losungen des Darstellungsproblemsl) der Satz 1. Damit eine Funktion f ( s ) durch ein irgendwo einfach konvergierendes Laplace-Transformation.
Laplace-Integral
(1)
e-stF(t)dt = B{F} mit einer i n jedem endlichen Interval1 0 t 5 T nach Lebesgue summierbaren Funktion F ( t ) darstellbar sei, ist notwendig und hinreichend, dap es eine Abszisse xo > 0 gibt, fur welche die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1 . f(s) ist stetig in 3 s > xo.
2 . f ( x + i y ) / ( x + i y ) E L2(ca < y < +m) fur jedes z > zo.
3. Das Integral
T++W0 0 definiert fiir jedes x > xo eine von x unabhangige, in jedem endlichen Interval1 0 5 t
( 2 ) @ ( t ) = 0 fur t 5 0 ,
(3)
F ( t ) ist gleich der fast uberall existierenden Ableitung von @ ( t ) .
B e w e i s : a ) N o t w e n d i g k e i t . Wenn g { F } = f ( s ) irgendwo, also in einem reellen xo > 0 konvergiert, so ist f ( s ) fur 8 s > zo sogar analytisch. Nach T totalstetige Funktion @ ( t ) mit den Eigenschaften f HB, S. 87 konvergiert fur @ ( t ) =J F ( z ) d z auch 0 f (8) 2 { @ ( t ) } = 8 fur W s > zo, 1) G . DOETSCH, Handbuch der Laplace-Transformation. Band I. Base1 1950, 5. 259. Math. Nachr. 1954, Bd. 12, H. l/Z
Dieaes Werk wird irn folgenden als HB zitiert.