Bornes effectives pour les solutions des équations enS-unités et des équations de Thue–Mahler

✍ Scribed by Yann Bugeaud

• Publisher: Elsevier Science
• Year: 1998
• Tongue: English
• Weight: 295 KB
• Volume: 71
• Category: Article
• ISSN: 0022-314X
• DOI: 10.1006/jnth.1998.2245

✦ Synopsis

Recently, Bombieri and Bombieri and Cohen have developped a new method in effective diophantine approximation, based on a reworked version of the Thue principle, the Dyson lemma and some geometry of numbers. In the present work, we follow their approach, utilizing however estimates for linear forms in two or three logarithms instead of the Thue principle. This tool allows us to sharpen their results. We apply our main estimates to provide new explicit and, in a certain sense, improved upper bounds for the size of the solutions of the S-unit equation and of the Thue Mahler equation. We also derive a new effective irrationality measure for algebraic numbers and compare our estimates with the recent results of Bugeaud and Gyo ry.

1998 Academic Press

1. Il de coule du principe des tiroirs que + est ne cessairement supe rieur ou e gal aÁ 2. Le premier re sultat connu remonte aÁ Liouville [16], qui a montre que tout nombre alge brique : de degre n a une mesure d'irrationalite effective infe rieure ou e gale aÁ n, avec e galite si : est quadratique. Successivement, Thue, Siegel, Dyson et Gelfond ont ame liore l'estimation de Liouville, de manieÁ re cependant ineffective. Le meilleur re sultat actuellement connu est l'oeuvre de Roth [17]: pour tout nombre alge brique : et pour tout = strictement positif, 2+= est une mesure d'irrationalite ineffective de :.