Bemerkung über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Nebenbedingungen in Integralform

✍ Scribed by Johannes Thomas

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1966
• Tongue: English
• Weight: 174 KB
• Volume: 31
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19660310105

✦ Synopsis

I. Gegenstand der nachstehenden Bemerkung, die an die Arbeit

[I] des Verfaesers anknupft, ist das mit dem Differentialausdruck gebildete halbhomogene System b b ( 2 ) L,,(y) =h(x), J A ( x ) y d x = J B ( x ) y d x = O a a bei einem Wert 1, welcher Eigenwert des mit h (x) = 0 gebildeten Systems (2) d. h. des zu (2) gehorigen homogenen Eigenwertsystems ist. In [I] steht auf S. 254 die Formulierung, da13 dann, wenn il ein Eigenwert li dieses homogenen Systcms ist, das System ( 2 ) genau dann losbar ist, wenn die folgenden Bedingungen bestehen : Schreibt man das Residuum, welches die GREENsche Reeolvente GO,; x, t) des homogenen Systems an der Stelle il = 1, hat, in der in [I], Formel (46) stehenden Form 2 F!)%* (x) @ P y ) , ' (l') mit im Interval1 a < 6 < b linear unabhangigen Funktionen @ ) ? ' (t). so bestehen ([I], Formel (50)) die Orthogonalitiitsrelationen i.

b

( 3) J @L""(t) h( 5) d t = 0 . a Das nachstehend unter 111. gebrachte, dem Verfasser freundlicherweise von Herrn ADAM SCHMIDT, Rostock, mitgeteilte Beispiel zeigt, da13 allgemein nur die Hinliinglichkeit der Bedingungen (3) fur die Losbarkeit des Systems ( 2 ) bei A = ili ausgesagt werden kannl). Bedingungen, die fur die Losbarkeit von (2) bei il = 1, hinreichend und notwendig sind, erhalt man gemaf3 [2], Abs. VIII, in der folgenden unter 11. dargestellten Weise. 11. Die Funktionen f(x), g(z), h ( z ) , A ( x ) und B(x) mogen die in [l] gemachten Voraufeetzungen erfiillen. 1st dann yl (2, A), yz(x, A) das in [l], J ) In [11 ist auf S. 254 auch lediglich die Hinlknglichkeit der Bedingnngen (3) fur die Lc sbarkeit des mit 1 = , + gebildeten Systems (2) beaiesen.