Approximation durch LSsungen elliptischer Randwertprobleme a d kompakten Mengen rnit leerem Innern
Von U r n HAMA" in Rostock (Eingegangcn am 5. 10. 1987) Gegeben sei ein elliptisches Randwertproblem in einem Gebiet i2 c R", wobei der Differentialoperator die Ordnung 2m haben soll. Weiter sei V c an eine beliebige, dann aber fest gewahlte offene Teilmenge des Randes. Wir lassen die Randvorgaben lediglich auf V variierenauf aQ\V sollen sie Null sein; ebenso SOU die rechte Seite der Differentialgleichung Null sein. %,(n) sei die Menge der Losungen der so entstehenden Randwertprobleme. Innerhalb von f2 liege eine kompakte Menge R mit leerem Innern. Es wud untersucht, welche Bedingungen die kompakte Menge K erfiillen muB, damit zu jeder Funlition f E @(R") (0 5 s 5 2m -1) eine Folge (uI);lD c %&2) mit lim z IlD"flK -~% I R I I C ( K ) = 0 I-lalsa existiert. Entsprechende Untersuchungen werden auch fur Funktionen aus dem SOBOmv-Raum W;(Rn) angestellt. Die Bedingungen an R geben wir dabei mit Hilfe von Begriffen aus der Kapazitatstheorie an. Dadurch gelingt es, die Voraussetzungen beziiglich K sehr schwach zu halten. Beachtet man, da13 Lul = 0 in einer Umgebung von K gilt, so kann man diese Problematik als Verallgemeinerung der z. B. von A. G. V ~S H K W in [18] und J. C. POL-KING in [ 161 untersuchten Problemstellungen ansehen. 1. Voraussetzungen, Definitionen 1.1. Es sei f2 c R" ein beschranktes Gebiet mit einem Cm-glatten Rand an. Vom Differentialoperator L = L(z, D) = c a&) -D (a, E P ( B ) ) 14 S 2 m und vom System B = (B,}?, Bj = z B~,,(z) Da (Bj,, E Cw(aQ)) I 4 S m j