Approximation durch Normalableitungen von Liisungen elliptischer Randwertprobleme in beliebigen Sobolev-Raumen
Von UWE HAMANN in Rostock (Eingegangen am 1.3.1985) Gegeben sei ein elliptisches Randwertproblem in einem Gebiet Q c R*. Variiert man die Randvorgaben lediglich auf einer Teilmenge V des Randes aQ, soentsteht die Menge XV(Q) von entsprechenden Losungen des Randwert,problems. In Q liege eine k-dimensionale Flache r (1 5 k 5 nl), welche 9 nicht zerlegt. Auf 7 sei ein Vekt,or Ifh IS, szrn-1 E fl W:S(r) (2m ist die Ordnung des Differentialoperators, , ! 3 = (0, . . ., 0, ...) ,!In) sind Multiindizes, sB sind reelle Zahlen mit 0 5 sp < 00, Wib(F) sind SOBOLEV-SLOBODECKIJ-RaUnIe) von Funktionen vorgegeben. Es wird gezeigt, daB zu jedem solchen Vektor eine Folge ( u ~) ~= ~, ~, . . . , ui E 'iRV(Q), existiert, so daB Dguil, gegen f b zugleich fur alle ,!I mit IbI 5 2m -1 konvergiert. Dabei ist Dgu+I, die ,,B-Nornialableitung" auf r von ui. Hervorgehoben sei, daB diese Approximation in SOBOLEV-SLoBoDEcKTJ-Raiunien init beliebig hoher Differentiationsordnung sp erfolgen kann. Beim Beweis werden wesentlich die Stetigkeit des Greenschen Operators und Einbettungssatze bcnutzt. 1n1 1. Abschnitt werden die verwcndeten Bezeichnungen, die genauen Voraussetzungen sowie der Satz angegeben. Weiterhin erfolgt dort ein uberblick iiber die Literatur zii dieser Approxiniationsprohlematik. I m 2. und 3. Abschnitt folgen einige Bemerkungen zri den Einbett ungssatzen rind ziiiii Greenschen Operator. Der Beweis des Satzes wird dann iiii 4. Abschnitt gefiihrt.