数学分析讲义（第一册）: 数学分析讲义

✍ Scribed by 陈天权

• Publisher: 北京大学出版社
• Year: 2009
• Tongue: Chinese
• Leaves: 369
• Series: 大学生基础课教材
• Category: Library

✦ Synopsis

《北京高等教育精品教材:数学分析讲义(第1册)》是作者在清华大学数学科学系（1987-2003）及北京大学数学科学学院（2003-2009）给本科生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的，一方面，作者力求以近代数学（集合论，拓扑，测度论，微分流形和微分形式）的语言来介绍数学分析的基本知识，以使同学尽早熟悉近代数学文献中的表述方式。另一方面在篇幅允许的范围内，作者尽可能地介绍数学分析与其他学科（特别是物理学）的联系，以使同学理解自然现象一直是数学发展的重要源泉。

✦ Table of Contents

前言
目录
第1章 集合与映射
1.1集合
1.2集合运算及几个逻辑符号
1.3映射
1.4映射的乘积（或复合）
1.5可数集
1.6习题
1.7补充教材一：关于自然数集合N
1.8补充教材二：基数的比较
1.9补充习题
进一步阅读的参考文献
第2章 实数与复数
2.1实数的四则运算
2.2实数的大小次序
2.3实数域的完备性
2.4复数
2.5习题
2.6补充教材一：整数环Z与有理数域Q的构筑
2.7补充教材二：实数域R的构筑
进一步阅读的参考文献
第3章 极限
3.1序列的极限
3.2序列极限的存在条件
3.3级数
3.4正项级数收敛性的判别法
3.5幂级数
3.6函数的极限
3.7习题
进一步阅读的参考文献
第4章 连续函数类和其他函数类
4.1连续函数的定义及其局部性质
4.2（有界）闭区间上连续函数的整体性质
4.3单调连续函数及其反函数
4.4函数列的一致收敛性
4.5习题
4.6补充教材：半连续函数及阶梯函数
进一步阅读的参考文献
第5章 一元微分学
5.1导数和微分
5.2导数与微分的运算规则
5.3可微函数的整体性质及其应用
5.4高阶导数，高阶微分及Taylor公式
5.5 Taylor级数
5.6凸函数
5.7几个常用的不等式
5.8习题
5.9补充教材一：关于可微函数的整体性质
5.10补充教材二：一维线性振动的数学表述
5.10.1谐振子
5.10.2阻尼振动
5.10.3强迫振动
进一步阅读的参考文献
第6章 一元函数的Riemann积分
6.1 Riemann积分的定义
6.2 Riemann积分的简单性质
6.3微积分学基本定理
6.4积分的计算
6.5有理函数的积分
6.6可以化为有理函数积分的积分
6.6.1 R（x，?）的积分
6.6.2 R（x，?）的积分
6.6.3 R（sin x， cos x）的积分
6.7反常积分
6.8积分在几何学，力学与物理学中的应用
6.8.1定向区间的可加函数
6.8.2曲线的弧长
6.8.3功
6.9习题
6.10补充教材一：关于Newton-Leibniz公式成立的条件
6.11补充教材二：Stieltjes积分
6.12补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数
6.12.1一维的非线性振动的例：单摆的平面运动
6.12.2描述单摆平面运动的椭圆函数
6.13补充教材四：上、下积分的定义
进一步阅读的参考文献
参考文献
名词索引